，，，，，， は空間内の 点である。そのうち 点 ，，，，， は相異なり， 点 ，，，， はある球面 上にある。また，点 は直線 上にある。さらに，ある実数 ， に対し，次が成り立つとする。
，，
以下の問いに答えよ。
(1) 点 は 点 ，， が定める平面 上にあることを示せ。
(2) 点 は点 または点 に等しいことを示せ。
、、 は球面 上の異なる 点です。直線と球面の共有点は 個以下なので 点は一直線上になく、平面 が つに決まる。
から 、、 は一直線上にあります。 と は異なるため、その直線は直線 で、 も 上の点になる。
と はともに 上の異なる点だから、直線 は に含まれます。 より はこの直線上にあり、 上にある。
を原点とし、点 の位置ベクトルを で表します。 の中心の位置ベクトルを 、半径を とすると、 が 上にあるのは のとき。
展開して とおくと、条件は次の形になる。
は と の位置だけで決まる定数で、 にはよりません。
上の点 と実数 をとり、 の点を考えます。 が 上にあることから が成り立つ。
球面の式の左辺に と を代入して整理すると、次のように因数分解できる。
この点が 上にあるのは、 か のときです。
、 とすると、その点は 上の で、 から 。したがって が成り立つ。
、 とすると、その点は です。仮定から となり、右辺の つ目の因数が だから、 は 上にある。
直線 上の点は と書けます。球面の式に代入すると、 の係数が の 次方程式になり、実数解は 個以下。
の と の がすでに解となり、直線 と の共有点はこの 点だけです。 はその共有点の つだから、 か に等しい。
仮定の は と書きかえられます。 を通る直線が と交わる 点について、この内積はどの直線でも になり、平面 で切った円の上では方べきの定理にあたる。