東北大学理系 2026 年・第 6 問

\mathrm{A}、\mathrm{B}、\mathrm{P} は球面 S 上の異なる 3 点です。直線と球面の共有点は 2 個以下なので 3 点は一直線上になく、平面 \alpha が 1 つに決まる。

\vec{\mathrm{OP}} = a\vec{\mathrm{OA}} から \mathrm{O}、\mathrm{A}、\mathrm{P} は一直線上にあります。\mathrm{A} と \mathrm{P} は異なるため、その直線は直線 \mathrm{AP} で、\mathrm{O} も \alpha 上の点になる。

\mathrm{O} と \mathrm{B} はともに \alpha 上の異なる点だから、直線 \mathrm{OB} は \alpha に含まれます。\vec{\mathrm{OQ}} = b\vec{\mathrm{OB}} より \mathrm{Q} はこの直線上にあり、\alpha 上にある。

\mathrm{O} を原点とし、点 \mathrm{X} の位置ベクトルを \vec{x} で表します。S の中心の位置ベクトルを \vec{m}、半径を r とすると、\mathrm{X} が S 上にあるのは |\vec{x} - \vec{m}|^2 = r^2 のとき。

展開して k = |\vec{m}|^2 - r^2 とおくと、条件は次の形になる。

|\vec{x}|^2 - 2\vec{m} \cdot \vec{x} + k = 0

k は S と \mathrm{O} の位置だけで決まる定数で、\mathrm{X} にはよりません。

S 上の点 \mathrm{Y} と実数 t をとり、\vec{x} = t\vec{\mathrm{OY}} の点を考えます。\mathrm{Y} が S 上にあることから 2\vec{m} \cdot \vec{\mathrm{OY}} = |\vec{\mathrm{OY}}|^2 + k が成り立つ。

球面の式の左辺に |\vec{x}|^2 = t^2|\vec{\mathrm{OY}}|^2 と 2\vec{m} \cdot \vec{x} = t(|\vec{\mathrm{OY}}|^2 + k) を代入して整理すると、次のように因数分解できる。

|\vec{x}|^2 - 2\vec{m} \cdot \vec{x} + k = (t - 1)(t|\vec{\mathrm{OY}}|^2 - k)

この点が S 上にあるのは、t = 1 か t|\vec{\mathrm{OY}}|^2 = k のときです。

\mathrm{Y} = \mathrm{A}、t = a とすると、その点は S 上の \mathrm{P} で、\mathrm{P} \neq \mathrm{A} から a \neq 1。したがって a|\vec{\mathrm{OA}}|^2 = k が成り立つ。

\mathrm{Y} = \mathrm{B}、t = b とすると、その点は \mathrm{Q} です。仮定から b|\vec{\mathrm{OB}}|^2 = a|\vec{\mathrm{OA}}|^2 = k となり、右辺の 2 つ目の因数が 0 だから、\mathrm{Q} は S 上にある。

直線 \mathrm{CD} 上の点は \vec{\mathrm{OC}} + s\vec{\mathrm{CD}} と書けます。球面の式に代入すると、s^2 の係数が |\vec{\mathrm{CD}}|^2 > 0 の 2 次方程式になり、実数解は 2 個以下。

s = 0 の \mathrm{C} と s = 1 の \mathrm{D} がすでに解となり、直線 \mathrm{CD} と S の共有点はこの 2 点だけです。\mathrm{Q} はその共有点の 1 つだから、\mathrm{C} か \mathrm{D} に等しい。

仮定の a|\vec{\mathrm{OA}}|^2 = b|\vec{\mathrm{OB}}|^2 は \vec{\mathrm{OA}} \cdot \vec{\mathrm{OP}} = \vec{\mathrm{OB}} \cdot \vec{\mathrm{OQ}} と書きかえられます。\mathrm{O} を通る直線が S と交わる 2 点について、この内積はどの直線でも k になり、平面 \alpha で切った円の上では方べきの定理にあたる。