本のひもがある。 つある端から つずつ無作為に選び つの組に分け，同じ組に属する端どうしを結ぶ。こうしてできる輪の数を とする。ただし，輪とは つあるいは複数のひもが結ばれて，ひとつながりになったものをいう。たとえば右図のとき， つのひもからなる輪が つと， つのひもからなる輪が つできている。この図では つの輪がからまっているが， と数える。
(1) となる確率を求めよ。
(2) となる確率を求めよ。
(3) の期待値を求めよ。
問題文の図では、左の輪と右の小さい輪が 本のひもの両端を結んだもの、大きい輪が 本のひもを か所で結んだものです。右の つはからまっているが、数えるのはつながり方だけで、 となる。
つの端を つずつ 組に分ける分け方は、ある端の相手の選び方が 通り、残った端の つの相手が 通り、次が 通り、最後が 通りで、 通りです。どれも同様に確からしい。
(1) の は、 本とも自分の両端どうしが組になるときで、 通りのうち 通りしかない。確率は です。
組を つずつ決めていきます。まだ組になっていない端から つを選び、その相手を残りから等しい確率で選ぶ。 回くり返すと、 通りの分け方がどれも の確率で起こり、はじめの分け方と同じになります。
途中では、結んだひもどうしがつながり、両端の空いたひもが 本あるとみなせる。空いた端は 個で、選んだ端の相手は残りの 個のどれかです。
相手が同じひもの反対の端なら輪が つ閉じ、ほかの端なら 本がつながって 本になる。どちらでも本数は 減るため、 は 、、、 と進み、各段で輪が閉じる確率は、それまでの結び方によらず 、、、 です。
は、はじめの 段でどれも輪が閉じないときです。最後の段では空いた端が 個しかなく、必ず閉じる。
確率は となる。(1) の も、 段とも閉じる確率 として同じ値に決まります。
段目で輪が閉じたら 、閉じなければ をとる確率変数を とすると、 です。期待値の和の性質から、 となる。
は 段目で閉じる確率そのもので、、、、 です。足すと になる。
分布からも確かめられます。はじめの 段のうち 段だけ閉じる確率は 、 段だけ閉じる確率は で、 と一致する。