を満たす複素数 と， を満たす複素数 に対して， とする。このような複素数 が複素数平面において動く領域を図示し，その面積を求めよ。
は原点を中心とする半径 の円板を、周も内側もふくめて動きます。 は を中心とする半径 の円周だけを動きます。
大事なのは、この つが独立に動くことです。 をどこに置いても は円周を一周でき、その逆もできます。
ですから、半分にしたもの つの和として見ます。
は原点を中心とする半径 の円板、 は を中心とする半径 の円周です。
を つ止めます。そこへ を足すと、 はその点を中心とする半径 の円板を、境界もふくめて全部動きます。
次に止めるのをやめて を動かすと、いまの円板の中心が、 を中心とする半径 の円周を一周します。
だから の動く範囲は、半径 の円板をその円周に沿って一周させた跡です。
言いかえると、円周上のどこかの点から距離 以内にある点の全体になります。
中心 からの距離だけで決まります。円周上の点との距離が 以下になれる点は、 からの距離が 以上 以下の点です。
いちばん内側は 、いちばん外側は です。そのあいだの距離はどれも実際に届きます。
よって求める領域は の輪で、内側と外側の境界もふくみます。
穴が開くのは、 が円板ではなく円周だけを動くからです。 だったら穴は埋まっていました。
外側の円の面積は です。
内側の円の面積は です。
差を取ると です。
中心が のどこにあっても面積は変わりません。効いているのは つの半径 と だけです。