a，b を実数とする。曲線 C : y = x^2 と曲線 C' : y = -x^2+ax+b はある点を共有しており，その点におけるそれぞれの接線は直交している。C と C' で囲まれた部分の面積の最小値を求めよ。
共有点の x 座標を t とおきます。C の上の点だから y 座標は t^2 で、C' も通ることから t^2 = -t^2+at+b が成り立つ。
この点での接線の傾きは、C が 2t、C' が -2t+a です。直交する条件は 2t(-2t+a) = -1 で、t = 0 では左辺が 0 になるため、t \neq 0 に限られる。
直交の式を整理すると at = 2t^2-\dfrac{1}{2}。これを共有点の式に代入すると t^2 = t^2-\dfrac{1}{2}+b となり、b = \dfrac{1}{2} が決まります。b の値に t は残らず、C' はどれも y 軸上の点 \left(0,\ \dfrac{1}{2}\right) を通る。
直交の式は、t について 4t^2-2at-1 = 0 と書けます。a を先に決めても判別式は 4a^2+16 > 0 で、t = 0 はこの式を満たさないため、条件に合う t がかならずある。
条件を満たす (a,\ b) は、a が実数全体、b = \dfrac{1}{2} の組です。C と C' の共有点の x 座標は、2x^2-ax-\dfrac{1}{2} = 0 の 2 つの解です。両辺を 2 倍すると直交の式 4t^2-2at-1 = 0 と同じ形になるため、2 つの共有点のどちらでも接線は直交する。
C' の式の右辺から C の式の右辺を引くと -2x^2+ax+\dfrac{1}{2} です。共有点の x 座標を \alpha < \beta とすると -2(x-\alpha)(x-\beta) と書け、囲まれた部分の面積 S は \displaystyle\int_{\alpha}^{\beta} \{-2(x-\alpha)(x-\beta)\}\,dx = \dfrac{(\beta-\alpha)^3}{3} になる。
解と係数の関係から \alpha+\beta = \dfrac{a}{2}、\alpha\beta = -\dfrac{1}{4} で、(\beta-\alpha)^2 = (\alpha+\beta)^2-4\alpha\beta = \dfrac{a^2+4}{4} です。\beta-\alpha = \dfrac{\sqrt{a^2+4}}{2} を代入すると、S = \dfrac{(a^2+4)\sqrt{a^2+4}}{24} となる。
a^2+4 が小さいほど S は小さく、最小値は a = 0 のときの \dfrac{4 \cdot 2}{24} = \dfrac{1}{3} です。このとき C' は y = -x^2+\dfrac{1}{2} で、共有点は \left(\pm\dfrac{1}{2},\ \dfrac{1}{4}\right)、そこでの接線の傾きは 1 と -1 の組になる。