， を実数とする。曲線 と曲線 はある点を共有しており，その点におけるそれぞれの接線は直交している。 と で囲まれた部分の面積の最小値を求めよ。
共有点の 座標を とおきます。 の上の点だから 座標は で、 も通ることから が成り立つ。
この点での接線の傾きは、 が 、 が です。直交する条件は で、 では左辺が になるため、 に限られる。
直交の式を整理すると 。これを共有点の式に代入すると となり、 が決まります。 の値に は残らず、 はどれも 軸上の点 を通る。
直交の式は、 について と書けます。 を先に決めても判別式は で、 はこの式を満たさないため、条件に合う がかならずある。
条件を満たす は、 が実数全体、 の組です。 と の共有点の 座標は、 の つの解です。両辺を 倍すると直交の式 と同じ形になるため、 つの共有点のどちらでも接線は直交する。
の式の右辺から の式の右辺を引くと です。共有点の 座標を とすると と書け、囲まれた部分の面積 は になる。
解と係数の関係から 、 で、 です。 を代入すると、 となる。
が小さいほど は小さく、最小値は のときの です。このとき は で、共有点は 、そこでの接線の傾きは と の組になる。