f(x) は x に関する 4 次多項式で 4 次の係数は 1 である。f(x) は (x+1)^2 で割ると 1 余り，(x-1)^2 で割ると 2 余る。f(x) を求めよ。
(x+1)^2 で割った余りが 1 なら、f(x)-1 は (x+1)^2 で割り切れます。f(x) は x^4 の係数が 1 の 4 次式だから、商は x^2 の係数が 1 の 2 次式で、f(x)-1 = (x+1)^2(x^2+px+q) と書ける。
(x-1)^2 のほうも同じように f(x)-2 = (x-1)^2(x^2+rx+s) となり、決めるのは p、q、r、s の 4 つです。
グラフでは、y = f(x) が x = -1 で直線 y = 1 に接し、x = 1 で直線 y = 2 に接する。図は 1 つ目の形だけを満たす 4 次式と、2 つ目の形だけを満たす 4 次式を、いくつか描いたもの。
f(x)-1 から f(x)-2 を引くと f(x) が消え、(x+1)^2(x^2+px+q)-(x-1)^2(x^2+rx+s) = 1 が x の恒等式になります。
左辺を展開すると x^4 は打ち消し合う。x^3、x^2、x の係数と定数項は、p-r+4、(q-s)+2(p+r)、2(q+s)+(p-r)、q-s で、右辺と比べて前の 3 つが 0、定数項が 1 です。
係数はどれも p-r、p+r、q-s、q+s の組み合わせです。定数項から q-s = 1、x^3 の係数から p-r = -4 で、これを残りの 2 つに代入すると q+s = 2、p+r = -\dfrac{1}{2} となる。
p = -\dfrac{9}{4}、q = \dfrac{3}{2}、r = \dfrac{7}{4}、s = \dfrac{1}{2}。
f(x) = (x+1)^2\left(x^2-\dfrac{9}{4}x+\dfrac{3}{2}\right)+1 を展開すると、f(x) = x^4-\dfrac{1}{4}x^3-2x^2+\dfrac{3}{4}x+\dfrac{5}{2} です。(x-1)^2\left(x^2+\dfrac{7}{4}x+\dfrac{1}{2}\right)+2 を展開しても同じ式になり、2 つの余りの条件がそろって成り立つ。
x^2-\dfrac{9}{4}x+\dfrac{3}{2} は判別式が \dfrac{81}{16}-6 < 0 で、つねに正の値をとります。f(x) は x = -1 で最小値 1 をとり、グラフは直線 y = 1 に上側から接している。
もう一方の x^2+\dfrac{7}{4}x+\dfrac{1}{2} は 2 つの実数解をもつため、y = f(x) は直線 y = 2 と、x = 1 で接するほかに 2 点で交わります。