は に関する 次多項式で 次の係数は である。 は で割ると 余り， で割ると 余る。 を求めよ。
で割った余りが なら、 は で割り切れます。 は の係数が の 次式だから、商は の係数が の 次式で、 と書ける。
のほうも同じように となり、決めるのは 、、、 の つです。
グラフでは、 が で直線 に接し、 で直線 に接する。図は つ目の形だけを満たす 次式と、 つ目の形だけを満たす 次式を、いくつか描いたもの。
から を引くと が消え、 が の恒等式になります。
左辺を展開すると は打ち消し合う。、、 の係数と定数項は、、、、 で、右辺と比べて前の つが 、定数項が です。
係数はどれも 、、、 の組み合わせです。定数項から 、 の係数から で、これを残りの つに代入すると 、 となる。
、、、。
を展開すると、 です。 を展開しても同じ式になり、 つの余りの条件がそろって成り立つ。
は判別式が で、つねに正の値をとります。 は で最小値 をとり、グラフは直線 に上側から接している。
もう一方の は つの実数解をもつため、 は直線 と、 で接するほかに 点で交わります。