の符号から最大値を求める

積の微分でとなり、でくくると次の形になる。

ではなので、符号はで決まります。で増加し、で減少するから、最大値はのときのです。

図はのグラフを順に描いたもの。どのでも山の頂上はの位置にある。

の次式の部分が変曲点を決める

をもう一度微分すると、の微分とかっこの中の微分のつの項が現れます。整理すると次の式になる。

でくくると、かっこの中はの次式です。

ではで、のときもだから正。の解はで、はこのか所で符号を変えます。

ではなのでとなり、小さいほうのも正の範囲に含まれる。変曲点の座標はとです。図の黄色の部分が上に凸、その両側が下に凸で、境目の点が変曲点にあたる。

で、をの導関数とみて部分積分します。

かっこの値はで、でです。右の積分はそのものだから、次の漸化式が成り立つ。

はじめの項も同じ部分積分で計算でき、となる。まとめるとで、これと上の式で数列が決まります。

図の塗った部分の面積がで、を動かすと右端の位置が変わる。

問題文にあるから、のときです。でもあるため、はに近づく。

がに収束するなら、漸化式の右辺の極限はで、もに収束します。から数学的帰納法で順に進むと、となり、一般に次の値になる。

図は、、のグラフで、を大きくすると高さ、、の破線に近づいていきます。