以上の整数で， とそれ自身以外に正の約数を持たない数を素数という。以下の問いに答えよ。
(1) とする。 が素数となるような整数 をすべて求めよ。
(2) , を整数の定数とし， とする。 が素数となるような整数 の個数は 個以下であることを示せ。
と因数分解できます。 は 2 つの整数 と の積です。
素数 を 2 つの整数の積に書くと、、 の形しかありません。つまり片方は です。
だから か、 のどちらかになります。調べる相手が有限個に絞れました。
は なので除きます。素数は 以上の整数です。
のとき で素数です。 のとき で、負なので素数ではありません。
は 。判別式が で平方数ではないので、整数解はありません。
は 、 ですから か です。
、。どちらも素数です。よって答えは の 3 つとなります。
(2) も同じ形です。 ですから、 と置いて です。
が素数 になるとき、 は の約数ですから か です。 なら で 、 なら で となります。
が使えるのは が素数のとき、とくに のときです。 が使えるのは が素数のとき、とくに のときです。
は下に凸の放物線ですから、 の解も の解も 2 つまでです。候補はこの 4 通りに尽きるので、あとはどれとどれが同時に使えるかを見ます。
を満たす が 2 つある場合から見ます。それを , とすると です。 は となり、解は と のあいだ、つまり より大きいので 以下にはなれません。
ですから で、 も使えません。残るのは , と の 3 個までです。
を満たす が 2 つある場合も同じです。それを , とすると、 では で になれず、 から も使えません。やはり 3 個までです。
残るのは両側とも 1 つずつの場合です。ここへ と を足すと 4 個になりそうですが、そうはなりません。
両方使えるなら かつ で、差を取ると 、軸 は 以下です。すると は で増え続けるので、 で となることはありません。どの場合も 3 個を超えられず、, （）のようにちょうど 3 個になる例もあります。