千葉大学理系 2026 年・第 6 問

A は n^2 個の点からなります。\mathrm{P} を選んでから \mathrm{Q} を選ぶと考えると、選び方は n^2(n^2-1) 通りで、どれも同じ確からしさ。

\mathrm{PQ} = 1 となるのは、2 点が横か縦に隣り合うときです。隣り合う 2 点を結ぶ長さ 1 の線分は、横向きが 1 行に n-1 本ずつで n(n-1) 本、縦向きも n(n-1) 本ある。

1 本の線分につき、どちらの端を \mathrm{P} にするかで 2 通りの選び方が決まります。\mathrm{PQ} = 1 となる選び方は 2 \cdot 2n(n-1) = 4n(n-1) 通りで、確率は次のとおり。

\dfrac{4n(n-1)}{n^2(n^2-1)} = \dfrac{4}{n(n+1)}

\mathrm{PR} = 1 となる \mathrm{R} は、\mathrm{P} の上下左右にある (2,\ 3)、(4,\ 3)、(3,\ 2)、(3,\ 4) の 4 点です。\mathrm{QR} = 1 だから、\mathrm{Q} はそのどれかの \mathrm{R} からさらに 1 だけ進んだ点で、\mathrm{P} 自身は除く。

同じ向きにもう 1 進むと (1,\ 3)、(5,\ 3)、(3,\ 1)、(3,\ 5) の 4 点、直角に曲がると (2,\ 2)、(2,\ 4)、(4,\ 2)、(4,\ 4) の 4 点になります。n \geqq 5 なのでどれも A に含まれ、\mathrm{Q} の候補はこの 8 点。

\mathrm{P} = (3,\ 3) と決まったあと、\mathrm{Q} は残りの n^2-1 点から同じ確からしさで選ばれるため、条件付き確率は次の値です。

\dfrac{8}{n^2-1}

\mathrm{P} から \mathrm{R} へ 1 進み、\mathrm{R} から \mathrm{Q} へ 1 進んだ結果が、\mathrm{P} から \mathrm{Q} へのずれです。2 回とも同じ向きなら横か縦に 2 ずれ、逆向きなら \mathrm{Q} = \mathrm{P} になって除かれ、直角に曲がれば斜めに隣り合う。

横か縦に 2 ずれたときの \mathrm{R} は 2 点の中点、斜めに隣り合うときの \mathrm{R} は 2 点を対角の頂点とする正方形の残りの頂点です。どちらも x 座標と y 座標が \mathrm{P} と \mathrm{Q} の座標のあいだに収まり、A の点になる。

\mathrm{P} が A の端にあっても、この 2 種類の位置に \mathrm{Q} があれば \mathrm{R} は見つかります。(3) は、2 点がこの位置にある組を数える問題になる。

横に 2 ずれた 2 点は、左の点の x 座標が 1 から n-2 までの n-2 通りで、n 行あるから n(n-2) 組。縦も同じ数だけあり、合わせて 2n(n-2) 組です。

斜めに隣り合う 2 点は、1 辺が 1 の正方形の対角線の両端にあたります。正方形は (n-1)^2 個で、1 個に対角線が 2 本あるから 2(n-1)^2 組。

\mathrm{P} と \mathrm{Q} の選び方では 1 組が 2 通りに数えられるので、条件を満たす選び方は次の数になる。

\begin{aligned} &2\{2n(n-2) + 2(n-1)^2\} \\ &= 4(2n^2-4n+1) \end{aligned}

全体の n^2(n^2-1) 通りで割り、求める確率は次の値です。

\dfrac{4(2n^2-4n+1)}{n^2(n^2-1)}

n = 5 の図では、横と縦の組が 30 組、斜めの組が 32 組で、合わせて 62 組ある。2 点の組は全部で \dfrac{25 \cdot 24}{2} = 300 組だから確率は \dfrac{62}{300} = \dfrac{31}{150} で、上の式に n = 5 を代入した \dfrac{4 \cdot 31}{25 \cdot 24} と一致します。