の選び方を長さの線分で数える

は個の点からなります。を選んでからを選ぶと考えると、選び方は通りで、どれも同じ確からしさ。

となるのは、点が横か縦に隣り合うときです。隣り合う点を結ぶ長さの線分は、横向きが行に本ずつで本、縦向きも本ある。

本の線分につき、どちらの端をにするかで通りの選び方が決まります。となる選び方は通りで、確率は次のとおり。

からを通って届く点

となるは、の上下左右にある、、、の点です。だから、はそのどれかのからさらにだけ進んだ点で、自身は除く。

同じ向きにもう進むと、、、の点、直角に曲がると、、、の点になります。なのでどれもに含まれ、の候補はこの点。

と決まったあと、は残りの点から同じ確からしさで選ばれるため、条件付き確率は次の値です。

からへ進み、からへ進んだ結果が、からへのずれです。回とも同じ向きなら横か縦にずれ、逆向きならになって除かれ、直角に曲がれば斜めに隣り合う。

横か縦にずれたときのは点の中点、斜めに隣り合うときのは点を対角の頂点とする正方形の残りの頂点です。どちらも座標と座標がとの座標のあいだに収まり、の点になる。

がの端にあっても、この種類の位置にがあればは見つかります。(3) は、点がこの位置にある組を数える問題になる。

横にずれた点は、左の点の座標がからまでの通りで、行あるから組。縦も同じ数だけあり、合わせて組です。

斜めに隣り合う点は、辺がの正方形の対角線の両端にあたります。正方形は個で、個に対角線が本あるから組。

との選び方では組が通りに数えられるので、条件を満たす選び方は次の数になる。

全体の通りで割り、求める確率は次の値です。

の図では、横と縦の組が組、斜めの組が組で、合わせて組ある。点の組は全部で組だから確率はで、上の式にを代入したと一致します。