f(x) = -\dfrac{\sqrt{2}}{4}x^2+4\sqrt{2} とおく。0 < t < 4 を満たす実数 t に対し，座標平面上の点 (t,\,f(t)) を通り，この点において放物線 y = f(x) と共通の接線を持ち，x 軸上に中心を持つ円を C_t とする。
(1) 円 C_t の中心の座標を (c(t),\,0), 半径を r(t) とおく。c(t) と \{r(t)\}^2 を t の整式で表せ。
(2) 実数 a は 0 < a < f(3) を満たすとする。円 C_t が点 (3,\,a) を通るような実数 t は 0 < t < 4 の範囲にいくつあるか。
円と放物線が接するというのは、接点で接線を共有するということです。円の半径は接線に垂直ですから、中心は接点から法線の向きに進んだところにあります。
f'(x) = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}x ですから、接点 (t,\,f(t)) での接線の傾きは -\dfrac{\sqrt{2}}{2}t です。中心 (c,\,0) について、(t-c,\,f(t)) がこの接線と垂直になります。
垂直の条件は (t-c)\cdot 1+f(t)\cdot\left(-\dfrac{\sqrt{2}}{2}t\right) = 0、つまり t-c = \dfrac{\sqrt{2}}{2}t f(t) です。
f(t) を入れて整理すると c(t) = \dfrac{t^3}{4}-3t となります。t の整式です。
半径の 2 乗は、中心と接点の距離の 2 乗です。\{r(t)\}^2 = (t-c(t))^2+\{f(t)\}^2 となります。
いま t-c(t) = \dfrac{\sqrt{2}}{2}t f(t) でしたから、(t-c)^2 = \dfrac{t^2}{2}\{f(t)\}^2 です。くくり出せます。
\{r(t)\}^2 = \{f(t)\}^2\left(\dfrac{t^2}{2}+1\right)。ここに f(t) = \dfrac{\sqrt{2}}{4}(16-t^2) を入れます。
\{f(t)\}^2 = \dfrac{(16-t^2)^2}{8} ですから、\{r(t)\}^2 = \dfrac{(16-t^2)^2(t^2+2)}{16} = \dfrac{t^6-30t^4+192t^2+512}{16} です。これも整式で、(1) の答えになります。
円 C_t が点 (3,\,a) を通るのは (3-c(t))^2+a^2 = \{r(t)\}^2 のときです。a^2 について解きます。
g(t) = \{r(t)\}^2-(3-c(t))^2 と置くと、条件は g(t) = a^2 です。t の 4 次以下の式になります。
計算すると g(t) = -\dfrac{3}{8}t^4+\dfrac{3}{2}t^3+3t^2-18t+23 です。
つまり問題は、0 < t < 4 で横線 y = a^2 と曲線 y = g(t) が何回交わるか、という読み方に変わりました。
g'(t) = -\dfrac{3}{2}t^3+\dfrac{9}{2}t^2+6t-18 = -\dfrac{3}{2}(t-3)(t-2)(t+2) です。0 < t < 4 では t = 2 と t = 3 で向きが変わります。
g は t = 0 の 23 から減って t = 2 で 5、そこから増えて t = 3 で \dfrac{49}{8}、また減って t = 4 で -1 です。谷が 5、山が \dfrac{49}{8} の形です。
0 < a < f(3) = \dfrac{7\sqrt{2}}{4} より 0 < a^2 < \dfrac{49}{8} です。横線 y = a^2 は山の高さより下にあります。
谷の 5 より下なら交点は右の下り坂の 1 つだけ、ちょうど 5 なら谷の底を合わせて 2 つ、5 より上なら 3 つです。a で書くと、0 < a < \sqrt{5} で 1 個、a = \sqrt{5} で 2 個、\sqrt{5} < a < \dfrac{7\sqrt{2}}{4} で 3 個となります。