とおく。 を満たす実数 に対し，座標平面上の点 を通り，この点において放物線 と共通の接線を持ち， 軸上に中心を持つ円を とする。
(1) 円 の中心の座標を , 半径を とおく。 と を の整式で表せ。
(2) 実数 は を満たすとする。円 が点 を通るような実数 は の範囲にいくつあるか。
円と放物線が接するというのは、接点で接線を共有するということです。円の半径は接線に垂直ですから、中心は接点から法線の向きに進んだところにあります。
ですから、接点 での接線の傾きは です。中心 について、 がこの接線と垂直になります。
垂直の条件は 、つまり です。
を入れて整理すると となります。 の整式です。
半径の 2 乗は、中心と接点の距離の 2 乗です。 となります。
いま でしたから、 です。くくり出せます。
。ここに を入れます。
ですから、 です。これも整式で、(1) の答えになります。
円 が点 を通るのは のときです。 について解きます。
と置くと、条件は です。 の 4 次以下の式になります。
計算すると です。
つまり問題は、 で横線 と曲線 が何回交わるか、という読み方に変わりました。
です。 では と で向きが変わります。
は の から減って で 、そこから増えて で 、また減って で です。谷が 、山が の形です。
より です。横線 は山の高さより下にあります。
谷の より下なら交点は右の下り坂の 1 つだけ、ちょうど なら谷の底を合わせて 2 つ、 より上なら 3 つです。 で書くと、 で 1 個、 で 2 個、 で 3 個となります。