平行四辺形 において，, , , とする。次の条件を満たす長方形 を考え，その面積を とする。
条件： 点 , , , はそれぞれ辺 , , , 上にある。
ただし，辺はその両端の点も含むものとする。
(1) とするとき， を , , を用いて表せ。
(2) のとりうる値の最大値を , を用いて表せ。
平行四辺形は動きません。動くのは、それを囲む長方形の向きです。 を決めれば長方形は 1 つに決まり、面積も決まります。
図で を動かしてみてください。長方形が回り、縦と横がたがいに伸び縮みします。面積はその積です。
の動ける範囲も先に見ておきます。あとで出るように、点 が辺 に乗るためには が要ります。
では点 が長方形の角に、 では点 が角に来ます。辺は両端を含むので、どちらも許されます。
三角形 は の直角三角形です。 ですから 、 です。
点 は辺 の上にあるので です。 ですから となり、 です。
同じように点 のまわりを見ると で、 です。
たすと縦が 、横が 。 から も出ます。
は縦と横の積です。掛けると 、、そして の付く 2 項が出ます。
の 2 項は とまとまり、 が消えます。
残りは 2 倍角で と になります。
よって です。2 次だった式が、 の 1 次の三角関数だけになりました。
を入れます。
すると となります。
と の 1 次結合ですから合成できます。振幅は です。
よって 、ただし 、 です。
が になるのは のときです。 は から までですから、 は から まで。頂上がこの中に入るのは のときです。
を解くと 、すなわち です。このときの最大値は となります。
のときは頂上が範囲の外です。 は について増え続けるので、最大は端の で、値は です。
境目の では両方の式がともに になり、つながっています。図で を動かすと、山の頂上が範囲から出ていくところが見えます。