と を実数とし，関数 は で極大値をとり， で極小値をとるとする。
(1) を と を用いて表せ。
(2) と が を満たしながら動くとき，曲線 の変曲点の軌跡を求めよ。
です。極大と極小があるのは、この 次式が異なる つの実数解を持つとき、つまり のときです。
ですから、変曲点の 座標は です。そこで とおいて、変曲点が に来るようにします。
を入れて整理すると の項が打ち消し合い、 となります。（これは正）とおけば という短い形です。
は を含まない定数で、曲線を上下に動かすだけです。極大と極小の差を取るときには消えます。
で微分すると ですから、 で極大、 で極小です。 が小さいほうが極大なのは、 次の係数が正だからです。
値を入れると 、 です。
引くと が消えて 、つまり となります。 と は という つの組み合わせでしか効きません。
言いかえると、この差は曲線の形だけで決まり、どこに置いてあるかには関係しません。 次関数は変曲点について点対称なので、極大と極小は変曲点をはさんで上下に同じだけ離れています。
から 、つまり です。 は正なのでこれ以外にありません。 と書けます。
のとき です。 ですから、曲線は を平行移動しただけのものです。形はどれも同じで、置き場所だけが違います。
置き場所は縦横で つ自由に選べそうですが、 には定数項がありません。つまり曲線はかならず原点を通ります。この 本の条件で自由度が つ減ります。
そこで変曲点を とおくと、曲線は です。原点を通る条件 から となります。
変曲点 は をみたすので、曲線 の上にあります。 は実数のどれでもよく、 と対応しています。
式でも確かめられます。変曲点は 、 で、 を入れると です。 を代入すると になります。
は実数全体を動けるので、 も実数全体を動きます。抜けるところはありません。よって求める軌跡は曲線 の全体です。
同じ形の曲線を、原点を通るように滑らせていく。その変曲点が描くのは、また同じ形の曲線だった、ということです。