変曲点を原点へ寄せて見る

f'(x) = 3(x^2+2px+m) です。極大と極小があるのは、この 2 次式が異なる 2 つの実数解を持つとき、つまり p^2 > m のときです。

f''(x) = 6x+6p ですから、変曲点の x 座標は -p です。そこで u = x+p とおいて、変曲点が u = 0 に来るようにします。

x = u-p を入れて整理すると u^2 の項が打ち消し合い、f = u^3-3(p^2-m)u + (2p^3-3mp) となります。q = p^2-m（これは正）とおけば f = u^3-3qu+C という短い形です。

C = 2p^3-3mp は u を含まない定数で、曲線を上下に動かすだけです。極大と極小の差を取るときには消えます。

差は 4(p^2-m)\sqrt{p^2-m}

u で微分すると 3(u^2-q) ですから、u = -\sqrt{q} で極大、u = \sqrt{q} で極小です。u が小さいほうが極大なのは、3 次の係数が正だからです。

値を入れると f(-\sqrt{q}\,) = -q\sqrt{q}+3q\sqrt{q}+C = 2q\sqrt{q}+C、f(\sqrt{q}\,) = q\sqrt{q}-3q\sqrt{q}+C = -2q\sqrt{q}+C です。

引くと C が消えて f(\alpha)-f(\beta) = 4q\sqrt{q}、つまり 4(p^2-m)\sqrt{p^2-m} となります。p と m は q = p^2-m という 1 つの組み合わせでしか効きません。

言いかえると、この差は曲線の形だけで決まり、どこに置いてあるかには関係しません。3 次関数は変曲点について点対称なので、極大と極小は変曲点をはさんで上下に同じだけ離れています。

4q\sqrt{q} = 4 から q\sqrt{q} = 1、つまり q = 1 です。q は正なのでこれ以外にありません。m = p^2-1 と書けます。

q = 1 のとき f = u^3-3u+C です。u = x+p ですから、曲線は y = x^3-3x を平行移動しただけのものです。形はどれも同じで、置き場所だけが違います。

置き場所は縦横で 2 つ自由に選べそうですが、f(x) = x^3+3px^2+3mx には定数項がありません。つまり曲線はかならず原点を通ります。この 1 本の条件で自由度が 1 つ減ります。

そこで変曲点を (a,\ b) とおくと、曲線は y = (x-a)^3-3(x-a)+b です。原点を通る条件 0 = -a^3+3a+b から b = a^3-3a となります。

変曲点 (a,\ b) は b = a^3-3a をみたすので、曲線 y = x^3-3x の上にあります。a は実数のどれでもよく、a = -p と対応しています。

式でも確かめられます。変曲点は x = -p、y = f(-p) = 2p^3-3mp で、m = p^2-1 を入れると y = -p^3+3p です。x = -p を代入すると y = x^3-3x になります。

p は実数全体を動けるので、x = -p も実数全体を動きます。抜けるところはありません。よって求める軌跡は曲線 y = x^3-3x の全体です。

同じ形の曲線を、原点を通るように滑らせていく。その変曲点が描くのは、また同じ形の曲線だった、ということです。