, を実数とする。座標平面上の放物線
は放物線 と つの共有点を持ち，一方の共有点の 座標は を満たし，他方の共有点の 座標は を満たす。
(1) 点 のとりうる範囲を座標平面上に図示せよ。
(2) 放物線 の通りうる範囲を座標平面上に図示せよ。
と の交点は 、つまり の解です。 と置きます。
は下に凸ですから、 解が と に つずつ入る条件は、、、 の つです。
だけで 解が をはさむことが決まります。あとの つが、左の解を より右へ、右の解を より左へ押さえます。
書き下すと 、、 です。
つの不等式は 、、 です。前の つは とまとめられます。
つまり の動く範囲は です。
これは 、、 を頂点とする三角形の内部です。不等号に等号がないので、境界は入りません。
これが (1) の答えです。(2) では、この三角形の上を が動くとき がどこを通るかを見ます。
を つ止めます。 の高さは で、 は定数、動くのは の部分だけです。
は についての 次式です。 次式が三角形の上を動くときの最大最小は、頂点で取られます。
つの頂点での値は 、、 です。最大は 、最小は と の小さいほうになります。
三角形の内部だけを動くので、端の値は取りません。 は から までを、両端を除いて動きます。
上の境界は です。 で 、 で になります。
下の境界は で 、 で です。 ではどちらも で、切れ目なくつながります。
出てくるのは 、、 の 本だけです。三角形の 頂点に当たる そのものが、境界になっています。
答えはこの 本で囲まれた部分の内部で、境界は含みません。