a, b を実数とする。座標平面上の放物線
C: y = x^2+ax+b
は放物線 y = -x^2 と 2 つの共有点を持ち，一方の共有点の x 座標は -1 < x < 0 を満たし，他方の共有点の x 座標は 0 < x < 1 を満たす。
(1) 点 (a,\, b) のとりうる範囲を座標平面上に図示せよ。
(2) 放物線 C の通りうる範囲を座標平面上に図示せよ。
C と y = -x^2 の交点は x^2+ax+b = -x^2、つまり 2x^2+ax+b = 0 の解です。h(x) = 2x^2+ax+b と置きます。
h は下に凸ですから、2 解が -1 < x < 0 と 0 < x < 1 に 1 つずつ入る条件は、h(-1) > 0、h(0) < 0、h(1) > 0 の 3 つです。
h(0) < 0 だけで 2 解が 0 をはさむことが決まります。あとの 2 つが、左の解を -1 より右へ、右の解を 1 より左へ押さえます。
書き下すと 2-a+b > 0、b < 0、2+a+b > 0 です。
3 つの不等式は b > a-2、b > -a-2、b < 0 です。前の 2 つは b > |a|-2 とまとめられます。
つまり (a,\, b) の動く範囲は |a|-2 < b < 0 です。
これは (-2,\, 0)、(2,\, 0)、(0,\, -2) を頂点とする三角形の内部です。不等号に等号がないので、境界は入りません。
これが (1) の答えです。(2) では、この三角形の上を (a,\, b) が動くとき C がどこを通るかを見ます。
x を 1 つ止めます。C の高さは y = x^2+ax+b で、x^2 は定数、動くのは ax+b の部分だけです。
ax+b は (a,\, b) についての 1 次式です。1 次式が三角形の上を動くときの最大最小は、頂点で取られます。
3 つの頂点での値は -2x、2x、-2 です。最大は 2|x|、最小は -2|x| と -2 の小さいほうになります。
三角形の内部だけを動くので、端の値は取りません。y は x^2-\max(2,\, 2|x|) から x^2+2|x| までを、両端を除いて動きます。
上の境界は y = x^2+2|x| です。x \geqq 0 で y = x^2+2x、x \leqq 0 で y = x^2-2x になります。
下の境界は |x| \leqq 1 で y = x^2-2、|x| \geqq 1 で y = x^2-2|x| です。x = \pm 1 ではどちらも -1 で、切れ目なくつながります。
出てくるのは y = x^2+2x、y = x^2-2x、y = x^2-2 の 3 本だけです。三角形の 3 頂点に当たる C そのものが、境界になっています。
答えはこの 3 本で囲まれた部分の内部で、境界は含みません。