正の整数 n に対し，n の正の約数の個数を d(n) とする。たとえば，6 の正の約数は 1，2，3，6 の 4 個なので，d(6) = 4 である。また，f(n) = \dfrac{d(n)}{\sqrt{n}} とする。
(1) f(2025) を求めよ。
(2) 素数 p と正の整数 k の組で f(p^k) \leqq f(p^{k+1}) を満たすものを求めよ。
(3) f(n) の最大値と，そのときの n を求めよ。
2025 = 3^4 \cdot 5^2 です。約数は 3^a \cdot 5^b（a は 0 から 4、b は 0 から 2）の形で、a と b の選び方は 5 \cdot 3 = 15 通りあり、d(2025) = 15 となる。
\sqrt{2025} = 45 だから、f(2025) = \dfrac{15}{45} = \dfrac{1}{3} です。同じ数え方で、n = p_1^{k_1}p_2^{k_2}\cdots p_r^{k_r} なら d(n) = (k_1+1)(k_2+1)\cdots(k_r+1) になる。
f(p^k) = \dfrac{k+1}{p^{\frac{k}{2}}}、f(p^{k+1}) = \dfrac{k+2}{p^{\frac{k+1}{2}}} です。両辺に p^{\frac{k+1}{2}} をかけると、条件は (k+1)\sqrt{p} \leqq k+2、すなわち \sqrt{p} \leqq 1+\dfrac{1}{k+1} となる。
k \geqq 1 では右辺は \dfrac{3}{2} 以下で、p \leqq \dfrac{9}{4} から p = 2 に限られます。p = 2 では \sqrt{2}-1 \leqq \dfrac{1}{k+1} から k+1 \leqq \sqrt{2}+1 で、k \leqq \sqrt{2} より k = 1 です。
確かめると f(2) = \sqrt{2}、f(4) = \dfrac{3}{2} で、\sqrt{2} < \dfrac{3}{2} となる。求める組は (p,\ k) = (2,\ 1) だけ。
n = p_1^{k_1}p_2^{k_2}\cdots p_r^{k_r} なら、d(n) も \sqrt{n} も素数ごとの因数の積に分かれ、f(n) = f(p_1^{k_1})f(p_2^{k_2})\cdots f(p_r^{k_r}) となる。
どの素数についても、指数を 0 にした因数は 1 です。f(n) を最大にするには、素数ごとに f(p^k) を最大にする k を選べばよい。
p = 2 では、(2) から f(2) < f(4) で、k \geqq 2 では f(2^k) > f(2^{k+1}) と減っていく。f(1) = 1、f(2) = \sqrt{2}、f(4) = \dfrac{3}{2} だから、最大は k = 2 の \dfrac{3}{2} です。
p = 3 では k \geqq 1 で減っていき、f(1) = 1 < f(3) = \dfrac{2}{\sqrt{3}} から、最大は k = 1 の \dfrac{2}{\sqrt{3}} になる。p \geqq 5 では f(p) = \dfrac{2}{\sqrt{p}} < 1 で、そこから減るため、k = 0 の 1 がいちばん大きい。
最大値は \dfrac{3}{2} \cdot \dfrac{2}{\sqrt{3}} = \sqrt{3} で、そのときの n は 2^2 \cdot 3 = 12 です。d(12) = 6、\sqrt{12} = 2\sqrt{3} で、f(12) = \dfrac{6}{2\sqrt{3}} = \sqrt{3} と合う。