正の整数 に対し， の正の約数の個数を とする。たとえば， の正の約数は ，，， の 個なので， である。また， とする。
(1) を求めよ。
(2) 素数 と正の整数 の組で を満たすものを求めよ。
(3) の最大値と，そのときの を求めよ。
です。約数は （ は から 、 は から ）の形で、 と の選び方は 通りあり、 となる。
だから、 です。同じ数え方で、 なら になる。
、 です。両辺に をかけると、条件は 、すなわち となる。
では右辺は 以下で、 から に限られます。 では から で、 より です。
確かめると 、 で、 となる。求める組は だけ。
なら、 も も素数ごとの因数の積に分かれ、 となる。
どの素数についても、指数を にした因数は です。 を最大にするには、素数ごとに を最大にする を選べばよい。
では、(2) から で、 では と減っていく。、、 だから、最大は の です。
では で減っていき、 から、最大は の になる。 では で、そこから減るため、 の がいちばん大きい。
最大値は で、そのときの は です。、 で、 と合う。