京都大学理系 2024 年・第 4 問

を決めると数列は決まります。偶数なら半分にし、奇数なら にします。

たとえば なら で、 までが奇数、 で偶数に落ちます。

聞かれているのは奇数が何個続くかです。続いているあいだは下の式しか通らないので、下の式だけを調べれば足ります。

を ずつ増やして数えていく手も (1) までは通りますが、(2) の は 桁になるので間に合いません。

奇数のときの式の両辺に を足します。 です。

そのものは扱いにくい形でしたが、 は 倍ずつ増えるだけになりました。

奇数が続くあいだこの関係が続くので、、つまり です。

は奇数なので、 で何回割れるかを決めているのは だけです。

が奇数であることは、 が偶数であることと同じです。

ですから、これが偶数になるのは が で割り切れるときです。

から までを全部奇数にしたいなら、いちばんきつい を満たせば足ります。条件は が の倍数であることです。

逆に が の倍数なら、 から まで はどれも偶数になり、その範囲の はすべて奇数になります。

(1) は までなので です。 が の倍数、最小の自然数は です。

たしかめると で つとも奇数、次は で偶数です。

(2) は までなので です。 が の倍数、最小は です。

このとき で、 の指数が ずつ減っていきます。 で指数が になり、そこではじめて が偶数になります。