は を満たす定数とする。座標平面上で，次の つの不等式が表す領域を とする。
，，，
次の問いに答えよ。
(1) の面積 を求めよ。
(2) を求めよ。
、 とおきます。 は で、下が 、上が と のうち低いほうにはさまれた部分です。
、 ですから、 ではどちらも増えていきます。
、 で、 がつねに の上にあります。 という条件は、天井が の左端より下に来ないことを言っています。
を大きくすると天井が上がり、領域は右へ細く伸びていきます。
です。
本の曲線はどちらも右で爆発的に増えますが、その差はきれいに で、右へ行くほど細くなります。
天井に当たっていないところでは、縦の長さがそのまま です。積分するのは指数関数 つだけになります。
ですから、天井を取り払っても面積は を超えません。答えの見当はここで付きます。
を解きます。 から 、 です。
には が要るので、取るのは のほうです。 のほうは だからです。この を とおきます。
同じように から 、 です。この を とおきます。
です。 では上が 、 では上が天井の 、 では下の曲線が天井を越えるので何も残りません。
左側は です。 ですから、 になります。
右側は です。 の原始関数が だからです。
、 なので、右側は です。
足すと です。 なら で、 になります。
式から出すこともできますが、はさむほうが早いです。 は天井のない領域に含まれるので です。
逆に の部分はまるごと に入るので です。
で ですから となり、はさみうちの原理から です。
式から直に見ても同じです。 は へ、 の中身は へ近づき、 を掛けても に留まります。残るのは だけです。