座標平面上の放物線 y = x^2 を C とする。以下の問いに答えよ。
(1) 正の実数 u に対し，放物線 C の接線で点 (u,\ u-1) を通るものがちょうど 2 本あることを示せ。
(2) 正の実数 u に対し，放物線 C の相異なる 2 本の接線で点 (u,\ u-1) を通るものを l_1，l_2 とする。放物線 C と直線 l_1 の接点を \mathrm{P}_1 とし，放物線 C と直線 l_2 の接点を \mathrm{P}_2 とする。このとき，線分 \mathrm{P}_1\mathrm{P}_2 の垂直二等分線 m は y 軸と交わることを示せ。また，u が正の実数全体を動くとき，直線 m と y 軸の交点の y 座標 q(u) の最小値と，それを与える u の値を求めよ。
放物線 C 上の点 (t,\ t^2) での接線は、y' = 2x から傾きが 2t で、y = 2tx - t^2 です。これが点 (u,\ u-1) を通るのは、u - 1 = 2tu - t^2 が成り立つとき。t について整理すると次の 2 次方程式になる。
t^2 - 2ut + u - 1 = 0
接点が違えば傾き 2t も違うため、点 (u,\ u-1) を通る接線の本数は、この方程式の実数解の個数と同じです。
この 2 次方程式の判別式を D とすると \dfrac{D}{4} = u^2 - (u - 1)。平方完成すると次の形になります。
\dfrac{D}{4} = \left(u - \dfrac{1}{2}\right)^2 + \dfrac{3}{4}
どの実数 u でも \dfrac{D}{4} > 0 だから、方程式は異なる 2 つの実数解をもち、点 (u,\ u-1) を通る接線はちょうど 2 本ある。
点 (u,\ u-1) は直線 y = x - 1 の上を動きます。x^2 - (x - 1) は \dfrac{D}{4} と同じ形の式で正となるため、直線全体が放物線より下にあり、点はいつも放物線の外側にある。
2 つの解を t_1、t_2 とすると、\mathrm{P}_1 = (t_1,\ t_1^2)、\mathrm{P}_2 = (t_2,\ t_2^2) です。解と係数の関係から t_1 + t_2 = 2u、t_1t_2 = u - 1。
直線 \mathrm{P}_1\mathrm{P}_2 の傾きは \dfrac{t_1^2 - t_2^2}{t_1 - t_2} で、分子を (t_1 - t_2)(t_1 + t_2) と因数分解して約分すると t_1 + t_2 = 2u になります。
u > 0 より傾き 2u は 0 ではなく、m の傾きは -\dfrac{1}{2u} に決まる。傾きをもつ直線は y 軸と平行にならないから、m は y 軸と交わります。
線分 \mathrm{P}_1\mathrm{P}_2 の中点の x 座標は \dfrac{t_1 + t_2}{2} = u、y 座標は \dfrac{t_1^2 + t_2^2}{2} です。分子は (t_1 + t_2)^2 - 2t_1t_2 = 4u^2 - 2u + 2 と計算でき、y 座標は 2u^2 - u + 1 になる。
m はこの中点を通り、傾きが -\dfrac{1}{2u} の直線です。
y = -\dfrac{1}{2u}(x - u) + 2u^2 - u + 1
x = 0 とおくと右辺の第 1 項は \dfrac{1}{2} になり、q(u) = 2u^2 - u + \dfrac{3}{2}。平方完成すると次のようになる。
q(u) = 2\left(u - \dfrac{1}{4}\right)^2 + \dfrac{11}{8}
\dfrac{1}{4} は正の実数なので、q(u) の最小値は \dfrac{11}{8} で、それを与える u の値は \dfrac{1}{4} です。