座標平面上の放物線 を とする。以下の問いに答えよ。
(1) 正の実数 に対し，放物線 の接線で点 を通るものがちょうど 本あることを示せ。
(2) 正の実数 に対し，放物線 の相異なる 本の接線で点 を通るものを ， とする。放物線 と直線 の接点を とし，放物線 と直線 の接点を とする。このとき，線分 の垂直二等分線 は 軸と交わることを示せ。また， が正の実数全体を動くとき，直線 と 軸の交点の 座標 の最小値と，それを与える の値を求めよ。
放物線 上の点 での接線は、 から傾きが で、 です。これが点 を通るのは、 が成り立つとき。 について整理すると次の 次方程式になる。
接点が違えば傾き も違うため、点 を通る接線の本数は、この方程式の実数解の個数と同じです。
この 次方程式の判別式を とすると 。平方完成すると次の形になります。
どの実数 でも だから、方程式は異なる つの実数解をもち、点 を通る接線はちょうど 本ある。
点 は直線 の上を動きます。 は と同じ形の式で正となるため、直線全体が放物線より下にあり、点はいつも放物線の外側にある。
つの解を 、 とすると、、 です。解と係数の関係から 、。
直線 の傾きは で、分子を と因数分解して約分すると になります。
より傾き は ではなく、 の傾きは に決まる。傾きをもつ直線は 軸と平行にならないから、 は 軸と交わります。
線分 の中点の 座標は 、 座標は です。分子は と計算でき、 座標は になる。
はこの中点を通り、傾きが の直線です。
とおくと右辺の第 項は になり、。平方完成すると次のようになる。
は正の実数なので、 の最小値は で、それを与える の値は です。