座標平面上の曲線 C は，媒介変数 t を用いて
x = e^t \cos t，y = e^t \sin t \left(0 \leqq t \leqq \dfrac{\pi}{2}\right)
と表されている。曲線 C の y 軸に平行な接線を l とし，曲線 C，直線 l および x 軸で囲まれる図形を D とする。以下の問いに答えよ。
(1) 直線 l の方程式を求めよ。
(2) 正の実数 \alpha，\beta に対し，次の 2 つの不定積分を求めよ。
I = \displaystyle\int e^{\alpha t} \cos \beta t\, dt，J = \displaystyle\int e^{\alpha t} \sin \beta t\, dt
(3) D を x 軸のまわりに 1 回転させてできる立体の体積 V の値を求めよ。
t で微分すると \dfrac{dx}{dt} = e^t(\cos t - \sin t)、\dfrac{dy}{dt} = e^t(\sin t + \cos t) です。0 \leqq t \leqq \dfrac{\pi}{2} では \sin t + \cos t > 0 だから、\dfrac{dy}{dt} はいつも正。
接線が y 軸に平行になるのは \dfrac{dx}{dt} = 0 のときで、\cos t = \sin t から、この範囲では t = \dfrac{\pi}{4} に限られる。
その点の x 座標は e^{\frac{\pi}{4}} \cos\dfrac{\pi}{4} で、直線 l の方程式は次のとおりです。
x = \dfrac{\sqrt{2}}{2}e^{\frac{\pi}{4}}
t < \dfrac{\pi}{4} では \dfrac{dx}{dt} > 0、t > \dfrac{\pi}{4} では \dfrac{dx}{dt} < 0 なので、C は l のところでいちばん右へ張り出す。
e^{\alpha t}\cos\beta t と e^{\alpha t}\sin\beta t は、どちらを微分しても両方の形が現れます。
(e^{\alpha t}\cos\beta t)' = \alpha e^{\alpha t}\cos\beta t - \beta e^{\alpha t}\sin\beta t
(e^{\alpha t}\sin\beta t)' = \alpha e^{\alpha t}\sin\beta t + \beta e^{\alpha t}\cos\beta t
両辺を積分すると、積分定数を除いて \alpha I - \beta J = e^{\alpha t}\cos\beta t、\beta I + \alpha J = e^{\alpha t}\sin\beta t。I と J の連立方程式として解くと次のようになる。
I = \dfrac{e^{\alpha t}(\alpha\cos\beta t + \beta\sin\beta t)}{\alpha^2 + \beta^2} + K
J = \dfrac{e^{\alpha t}(\alpha\sin\beta t - \beta\cos\beta t)}{\alpha^2 + \beta^2} + K
K は積分定数です。右辺を微分すると、\alpha^2 + \beta^2 が約分されて被積分関数に戻る。
点 (e^{\alpha t}\cos\beta t,\ e^{\alpha t}\sin\beta t) の位置ベクトルを \vec{p}、それを反時計回りに 90^\circ 回したものを \vec{q} とすると、はじめに微分した 2 つの式は \dfrac{d\vec{p}}{dt} = \alpha\vec{p} + \beta\vec{q} とまとめられます。
0 \leqq t \leqq \dfrac{\pi}{4} の部分は、(1,\ 0) から l との接点まで右上へ進む曲線です。t > \dfrac{\pi}{4} の部分は l から左へ離れていくため、D は 0 \leqq t \leqq \dfrac{\pi}{4} の部分と x 軸、l で囲まれた部分になる。
D を x 軸のまわりに回すと、位置 x での断面は半径 y の円になり、体積は次の積分で表せます。
V = \pi\displaystyle\int_1^{\frac{\sqrt{2}}{2}e^{\frac{\pi}{4}}} y^2\, dx
x = e^t\cos t で置換すると、t は 0 から \dfrac{\pi}{4} まで動き、dx = e^t(\cos t - \sin t)\, dt。y^2 = e^{2t}\sin^2 t とかけ合わせて、次の形になる。
V = \pi\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{4}} e^{3t}(\sin^2 t\cos t - \sin^3 t)\, dt
3 倍角の公式から \sin^3 t = \dfrac{3\sin t - \sin 3t}{4}、\cos^3 t = \dfrac{3\cos t + \cos 3t}{4}。\sin^2 t\cos t = \cos t - \cos^3 t だから、これは \dfrac{\cos t - \cos 3t}{4} に等しい。代入すると次の形になる。
\begin{aligned} V = \dfrac{\pi}{4}\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{4}} e^{3t}(&\cos t - 3\sin t \\ &- \cos 3t + \sin 3t)\, dt \end{aligned}
(2) の式で \alpha = 3、\beta = 1 とすると \alpha^2 + \beta^2 = 10 です。定積分に使うため、積分定数は省く。
\displaystyle\int e^{3t}\cos t\, dt = \dfrac{e^{3t}(3\cos t + \sin t)}{10}
\displaystyle\int e^{3t}\sin t\, dt = \dfrac{e^{3t}(3\sin t - \cos t)}{10}
1 つ目から 2 つ目の 3 倍を引くと、e^{3t}(\cos t - 3\sin t) の積分は \dfrac{e^{3t}(3\cos t - 4\sin t)}{5} になります。
\beta = 3 では \alpha^2 + \beta^2 = 18。e^{3t}(\sin 3t - \cos 3t) の積分は J - I の形で、\sin 3t の項が打ち消し合い、-\dfrac{6e^{3t}\cos 3t}{18} = -\dfrac{e^{3t}\cos 3t}{3} が残る。
2 つを合わせると、e^{3t}(\cos t - 3\sin t - \cos 3t + \sin 3t) の原始関数の 1 つとして次の F(t) が得られます。
F(t) = e^{3t}\left(\dfrac{3\cos t - 4\sin t}{5} - \dfrac{\cos 3t}{3}\right)
F(0) = \dfrac{3}{5} - \dfrac{1}{3} = \dfrac{4}{15}。t = \dfrac{\pi}{4} では \cos t = \sin t = \dfrac{\sqrt{2}}{2}、\cos 3t = -\dfrac{\sqrt{2}}{2} で、かっこの中は -\dfrac{\sqrt{2}}{10} + \dfrac{\sqrt{2}}{6} = \dfrac{\sqrt{2}}{15} となり、F\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = \dfrac{\sqrt{2}}{15}e^{\frac{3\pi}{4}} です。
V = \dfrac{\pi}{4}\left\{F\left(\dfrac{\pi}{4}\right) - F(0)\right\} に代入して整理すると、求める体積は次の値になる。
V = \dfrac{\pi(\sqrt{2}e^{\frac{3\pi}{4}} - 4)}{60}