の点で接線は軸に平行

で微分すると、です。ではだから、はいつも正。

接線が軸に平行になるのはのときで、から、この範囲ではに限られる。

その点の座標はで、直線の方程式は次のとおりです。

では、ではなので、はのところでいちばん右へ張り出す。

(2)：つの積を微分して連立する

とは、どちらを微分しても両方の形が現れます。

両辺を積分すると、積分定数を除いて、。との連立方程式として解くと次のようになる。

は積分定数です。右辺を微分すると、が約分されて被積分関数に戻る。

点の位置ベクトルを、それを反時計回りに回したものをとすると、はじめに微分したつの式はとまとめられます。

の部分は、からとの接点まで右上へ進む曲線です。の部分はから左へ離れていくため、はの部分と軸、で囲まれた部分になる。

を軸のまわりに回すと、位置での断面は半径の円になり、体積は次の積分で表せます。

で置換すると、はからまで動き、。とかけ合わせて、次の形になる。

倍角の公式から、。だから、これはに等しい。代入すると次の形になる。

(2) の式で、とするとです。定積分に使うため、積分定数は省く。

つ目からつ目の倍を引くと、の積分はになります。

では。の積分はの形で、の項が打ち消し合い、が残る。

つを合わせると、の原始関数のつとして次のが得られます。

。では、で、かっこの中はとなり、です。

に代入して整理すると、求める体積は次の値になる。