点 \mathrm{O} を原点とする xy 平面において，曲線 y = \dfrac{1}{x} の第 1 象限にある部分を C とし，C 上の 2 点 \mathrm{A}\left(a,\ \dfrac{1}{a}\right)，\mathrm{B}\left(b,\ \dfrac{1}{b}\right) (ただし 0 < a < 1，a < b) を考える。\theta = \angle\mathrm{BOA} とおき，2 直線 \mathrm{OA}，\mathrm{OB} と C で囲まれた部分の面積を S とする。このとき，以下の問いに答えよ。
(1) S を a，b を用いて表せ。
(2) \theta = \dfrac{\pi}{4} であるとき，b を a を用いて表せ。
(3) 2 点 \mathrm{A}，\mathrm{B} が C 上を \theta = \dfrac{\pi}{4} をみたしながら動くとき，S の最小値を与える a の値を求めよ。
\mathrm{A}、\mathrm{B} から x 軸に下ろした垂線の足を \mathrm{A'}(a,\ 0)、\mathrm{B'}(b,\ 0) とします。三角形 \mathrm{OAA'} の面積は \dfrac{1}{2} \cdot a \cdot \dfrac{1}{a} = \dfrac{1}{2} で、三角形 \mathrm{OBB'} も同じく \dfrac{1}{2} になる。
S は、三角形 \mathrm{OAA'} に曲線の下の a \leqq x \leqq b の部分を足し、三角形 \mathrm{OBB'} を引いた面積です。2 つの三角形が打ち消し合い、S = \displaystyle\int_a^b \dfrac{1}{x}\,dx = \log b-\log a が残る。
直線 \mathrm{OA}、\mathrm{OB} が x 軸の正の向きとなす角を \alpha、\beta とすると、\tan\alpha = \dfrac{1}{a^2}、\tan\beta = \dfrac{1}{b^2} です。a < b だから \alpha > \beta で、\theta = \alpha-\beta となる。
加法定理から \tan\theta = \dfrac{\tan\alpha-\tan\beta}{1+\tan\alpha\tan\beta} = \dfrac{b^2-a^2}{a^2b^2+1}。\theta = \dfrac{\pi}{4} ならこれが 1 に等しく、整理すると b^2(1-a^2) = 1+a^2 です。
0 < a < 1 から 1-a^2 > 0 で、b = \sqrt{\dfrac{1+a^2}{1-a^2}} となる。このとき b^2-a^2 = a^2b^2+1 > 0 なので、a < b も満たされている。
(1) と (2) から S = \log\dfrac{b}{a} = \dfrac{1}{2}\log\dfrac{1+a^2}{a^2(1-a^2)} です。\log は増加関数だから、u = a^2 とおき、g(u) = \dfrac{1+u}{u(1-u)} を 0 < u < 1 で最小にする u を探す。
g'(u) = \dfrac{u^2+2u-1}{u^2(1-u)^2} で、分子が 0 になるのは u = \sqrt{2}-1。g はそこまで減少し、そのあと増加するため、S の最小値を与えるのは a^2 = \sqrt{2}-1 を満たす a = \sqrt{\sqrt{2}-1} のときです。
このとき b^2 = \dfrac{\sqrt{2}}{2-\sqrt{2}} = \sqrt{2}+1 で、a^2b^2 = (\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1) = 1 から ab = 1 となる。\mathrm{B}\left(\dfrac{1}{a},\ a\right) は \mathrm{A} を直線 y = x で折り返した点で、最小値は S = \log b^2 = \log(1+\sqrt{2})。