点 を原点とする 平面において，曲線 の第 象限にある部分を とし， 上の 点 ， (ただし ，) を考える。 とおき， 直線 ， と で囲まれた部分の面積を とする。このとき，以下の問いに答えよ。
(1) を ， を用いて表せ。
(2) であるとき， を を用いて表せ。
(3) 点 ， が 上を をみたしながら動くとき， の最小値を与える の値を求めよ。
、 から 軸に下ろした垂線の足を 、 とします。三角形 の面積は で、三角形 も同じく になる。
は、三角形 に曲線の下の の部分を足し、三角形 を引いた面積です。 つの三角形が打ち消し合い、 が残る。
直線 、 が 軸の正の向きとなす角を 、 とすると、、 です。 だから で、 となる。
加法定理から 。 ならこれが に等しく、整理すると です。
から で、 となる。このとき なので、 も満たされている。
(1) と (2) から です。 は増加関数だから、 とおき、 を で最小にする を探す。
で、分子が になるのは 。 はそこまで減少し、そのあと増加するため、 の最小値を与えるのは を満たす のときです。
このとき で、 から となる。 は を直線 で折り返した点で、最小値は 。