東京大学理系 2023 年・第 1 問

のグラフです。 が の倍数になるところで になるので，山の切れ目は に来ます。

はその 番目の山 つ分の面積です。 が大きくなるほど の進みが速いので，山は右へ行くほど細くなります。

高さはどの山も のままですから，面積が減るのは幅が詰まるからです。示したい は，その詰まり方を上と下から押さえたものです。

幅を直に測るのは面倒です。 とおいて山の幅をそろえ，代わりに高さのほうを押さえます。

とおくと ， です。積分の端は が へ， が へ移ります。

これで となります。幅は でどの でも同じになり， が効くのは のほうだけです。

では が単調に減るので， です。これを両端の定数に取りかえます。

残るのは で， は周期 ですから，どの でも です。 が の と約されて，(1) の不等式が出ます。

の積分の端は と です。山の切れ目でいうと の始まりから の始まりまでなので，ちょうど 本の山がそこに並びます。

つまり です。 を つずつ求めることはできませんが，(1) が 本ずつを押さえてくれます。

について (1) を足し合わせると， となります。

両側とも 個の和で，項の形は同じです。ずれているのは足し始めの つだけですから，同じ値へ近づくことが見込めます。

右辺で とおきます。 と， だけの式になります。

が短冊の幅， が高さです。区分求積で へ近づきます。

です。左辺は足し始めが になるだけで，短冊 本の違いは で消え，同じ値へ近づきます。

はさみうちの原理から です。 にあたります。