(1) 正の整数 k に対し，A_k = \displaystyle\int_{\sqrt{k\pi}}^{\sqrt{(k+1)\pi}} |\sin(x^2)| dx とおく。次の不等式が成り立つことを示せ。
\dfrac{1}{\sqrt{(k+1)\pi}} \leqq A_k \leqq \dfrac{1}{\sqrt{k\pi}}
(2) 正の整数 n に対し，B_n = \dfrac{1}{\sqrt{n}} \displaystyle\int_{\sqrt{n\pi}}^{\sqrt{2n\pi}} |\sin(x^2)| dx とおく。極限 \displaystyle\lim_{n \to \infty} B_n を求めよ。
y = |\sin(x^2)| のグラフです。x^2 が \pi の倍数になるところで 0 になるので，山の切れ目は x = \sqrt{k\pi} に来ます。
A_k はその k 番目の山 1 つ分の面積です。x が大きくなるほど x^2 の進みが速いので，山は右へ行くほど細くなります。
高さはどの山も 1 のままですから，面積が減るのは幅が詰まるからです。示したい \dfrac{1}{\sqrt{(k+1)\pi}} \leqq A_k \leqq \dfrac{1}{\sqrt{k\pi}} は，その詰まり方を上と下から押さえたものです。
幅を直に測るのは面倒です。t = x^2 とおいて山の幅をそろえ，代わりに高さのほうを押さえます。
t = x^2 とおくと x = \sqrt{t}，dx = \dfrac{dt}{2\sqrt{t}} です。積分の端は \sqrt{k\pi} が k\pi へ，\sqrt{(k+1)\pi} が (k+1)\pi へ移ります。
これで A_k = \displaystyle\int_{k\pi}^{(k+1)\pi} \dfrac{|\sin t|}{2\sqrt{t}} dt となります。幅は \pi でどの k でも同じになり，k が効くのは \dfrac{1}{2\sqrt{t}} のほうだけです。
k\pi \leqq t \leqq (k+1)\pi では \dfrac{1}{\sqrt{t}} が単調に減るので，\dfrac{1}{\sqrt{(k+1)\pi}} \leqq \dfrac{1}{\sqrt{t}} \leqq \dfrac{1}{\sqrt{k\pi}} です。これを両端の定数に取りかえます。
残るのは \displaystyle\int_{k\pi}^{(k+1)\pi} |\sin t| dt で，|\sin t| は周期 \pi ですから，どの k でも \displaystyle\int_0^{\pi} \sin t dt = 2 です。2 が 2\sqrt{t} の 2 と約されて，(1) の不等式が出ます。
B_n の積分の端は \sqrt{n\pi} と \sqrt{2n\pi} です。山の切れ目でいうと k = n の始まりから k = 2n の始まりまでなので，ちょうど n 本の山がそこに並びます。
つまり B_n = \dfrac{1}{\sqrt{n}} \displaystyle\sum_{k=n}^{2n-1} A_k です。A_k を 1 つずつ求めることはできませんが，(1) が 1 本ずつを押さえてくれます。
k = n, n+1, \ldots, 2n-1 について (1) を足し合わせると，\dfrac{1}{\sqrt{n}} \displaystyle\sum_{k=n}^{2n-1} \dfrac{1}{\sqrt{(k+1)\pi}} \leqq B_n \leqq \dfrac{1}{\sqrt{n}} \displaystyle\sum_{k=n}^{2n-1} \dfrac{1}{\sqrt{k\pi}} となります。
両側とも n 個の和で，項の形は同じです。ずれているのは足し始めの 1 つだけですから，同じ値へ近づくことが見込めます。
右辺で k = n+j とおきます。\dfrac{1}{\sqrt{n}} \displaystyle\sum_{j=0}^{n-1} \dfrac{1}{\sqrt{(n+j)\pi}} = \dfrac{1}{\sqrt{\pi}} \cdot \dfrac{1}{n} \displaystyle\sum_{j=0}^{n-1} \dfrac{1}{\sqrt{1+\dfrac{j}{n}}} と，\dfrac{j}{n} だけの式になります。
\dfrac{1}{n} が短冊の幅，\dfrac{1}{\sqrt{1+\dfrac{j}{n}}} が高さです。区分求積で \dfrac{1}{\sqrt{\pi}} \displaystyle\int_0^1 \dfrac{dx}{\sqrt{1+x}} へ近づきます。
\displaystyle\int_0^1 \dfrac{dx}{\sqrt{1+x}} = \Big[2\sqrt{1+x}\Big]_0^1 = 2\sqrt{2}-2 です。左辺は足し始めが j = 1 になるだけで，短冊 1 本の違いは n \to \infty で消え，同じ値へ近づきます。
はさみうちの原理から \displaystyle\lim_{n \to \infty} B_n = \dfrac{2(\sqrt{2}-1)}{\sqrt{\pi}} です。0.4674\cdots にあたります。