黒玉 個，赤玉 個，白玉 個が入っている袋から玉を 個ずつ取り出し，取り出した玉を順に横一列に 個すべて並べる。ただし，袋から個々の玉が取り出される確率は等しいものとする。
(1) どの赤玉も隣り合わない確率 を求めよ。
(2) どの赤玉も隣り合わないとき，どの黒玉も隣り合わない条件付き確率 を求めよ。
取り出す順に並ぶので，どの並びも同じ確からしさで出ます。同じ色の玉は見分けが付かないので，色の並びだけを数えます。
全部の並べ方は 通りです。これが分母になります。
どの赤も隣り合わない並びを数えます。赤を先に置くと隣り合うかどうかが決まってしまうので，赤以外の 個（黒 ，白 ）を先に並べます。並べ方は 通りです。
個が並ぶと，その間と両端で隙間が か所できます。 か所に赤を 個入れると隣り合ってしまうので，入れるのは 個までです。 か所から か所を選べば，どの赤も隣り合いません。
選び方は 通りです。赤以外の並べ方と掛けて 通りになります。
よって です。
素因数に分けると ， です。約すと となります。
(2) では，いま数えた 通りがそのまま分母になります。条件付き確率とは，全体をこの 通りに取り替えることだからです。
赤以外の並び 通りを，黒の固まり方で分けます。黒が 個ともばらけている並びが 通り，黒 個だけがつながる並びが 通り，黒 個がつながる並びが 通りです。
ばらけている 通りは，白 個の間と両端の か所から黒を置く か所を選んだもので ， 個つながる 通りは同じ か所から か所を選んだものです。残りが 通りになります。
つながった黒を離すには，その間の隙間へ赤を必ず入れるしかありません。ここが つに分ける理由で，使わなければならない隙間の数が組ごとに違います。
黒がばらけていれば縛りはなく 通り，黒 個がつながる並びでは か所を使って残り 個を か所へ置き 通り，黒 個がつながる並びでは か所を使って残り 個を か所へ置き 通りです。
組ごとに掛けて足します。 通りです。
分母は (1) で数えた 通りですから となります。
， ですから，約すと です。
です。条件を付けずに黒が隣り合わない確率は ですから，赤が散っている並びでは黒も散りやすい，と数で出ています。