黒玉 3 個，赤玉 4 個，白玉 5 個が入っている袋から玉を 1 個ずつ取り出し，取り出した玉を順に横一列に 12 個すべて並べる。ただし，袋から個々の玉が取り出される確率は等しいものとする。
(1) どの赤玉も隣り合わない確率 p を求めよ。
(2) どの赤玉も隣り合わないとき，どの黒玉も隣り合わない条件付き確率 q を求めよ。
取り出す順に並ぶので，どの並びも同じ確からしさで出ます。同じ色の玉は見分けが付かないので，色の並びだけを数えます。
全部の並べ方は \dfrac{12!}{3! \, 4! \, 5!} = 27720 通りです。これが分母になります。
どの赤も隣り合わない並びを数えます。赤を先に置くと隣り合うかどうかが決まってしまうので，赤以外の 8 個（黒 3，白 5）を先に並べます。並べ方は \dfrac{8!}{3! \, 5!} = 56 通りです。
8 個が並ぶと，その間と両端で隙間が 9 か所できます。1 か所に赤を 2 個入れると隣り合ってしまうので，入れるのは 1 個までです。9 か所から 4 か所を選べば，どの赤も隣り合いません。
選び方は _9\mathrm{C}_4 = 126 通りです。赤以外の並べ方と掛けて 56 \times 126 = 7056 通りになります。
よって p = \dfrac{7056}{27720} です。
素因数に分けると 7056 = 2^4 \cdot 3^2 \cdot 7^2，27720 = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11 です。約すと p = \dfrac{2 \cdot 7}{5 \cdot 11} = \dfrac{14}{55} となります。
(2) では，いま数えた 7056 通りがそのまま分母になります。条件付き確率とは，全体をこの 7056 通りに取り替えることだからです。
赤以外の並び 56 通りを，黒の固まり方で分けます。黒が 3 個ともばらけている並びが 20 通り，黒 2 個だけがつながる並びが 30 通り，黒 3 個がつながる並びが 6 通りです。
ばらけている 20 通りは，白 5 個の間と両端の 6 か所から黒を置く 3 か所を選んだもので _6\mathrm{C}_3 = 20，3 個つながる 6 通りは同じ 6 か所から 1 か所を選んだものです。残りが 56 - 20 - 6 = 30 通りになります。
つながった黒を離すには，その間の隙間へ赤を必ず入れるしかありません。ここが 3 つに分ける理由で，使わなければならない隙間の数が組ごとに違います。
黒がばらけていれば縛りはなく _9\mathrm{C}_4 = 126 通り，黒 2 個がつながる並びでは 1 か所を使って残り 3 個を 8 か所へ置き _8\mathrm{C}_3 = 56 通り，黒 3 個がつながる並びでは 2 か所を使って残り 2 個を 7 か所へ置き _7\mathrm{C}_2 = 21 通りです。
組ごとに掛けて足します。20 \times 126 + 30 \times 56 + 6 \times 21 = 2520 + 1680 + 126 = 4326 通りです。
分母は (1) で数えた 7056 通りですから q = \dfrac{4326}{7056} となります。
4326 = 2 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 103，7056 = 2^4 \cdot 3^2 \cdot 7^2 ですから，約すと q = \dfrac{103}{2^3 \cdot 3 \cdot 7} = \dfrac{103}{168} です。
0.613\cdots です。条件を付けずに黒が隣り合わない確率は \dfrac{6}{11} = 0.545\cdots ですから，赤が散っている並びでは黒も散りやすい，と数で出ています。