a，b，c，d は実数とし，実数全体を定義域とする関数
f(x) = 8x^3 - 6x^2 + 2 (|x| \leqq 1 のとき)
f(x) = 3x^4 + ax^3 + bx^2 + cx + d (|x| > 1 のとき)
はすべての x の値で微分可能であるとする。以下の問いに答えよ。
(1) a，b，c，d の値を求めよ。
(2) 関数 f(x) の最小値と，それを与える x の値を求めよ。
|x| \leqq 1 の式を h(x)、|x| > 1 の式を g(x) とおきます。どちらも多項式だから、x = \pm 1 以外ではそのまま微分できる。
x = 1 で微分可能になるのは、g(1) = h(1) でグラフがつながり、さらに g'(1) = h'(1) で傾きもそろうとき。x = -1 も同じです。
h(1) = 4、h(-1) = -12 で、h'(x) = 24x^2 - 12x から h'(1) = 12、h'(-1) = 36。g'(x) = 12x^3 + 3ax^2 + 2bx + c を使うと、4 つの条件は次のようになる。
\begin{aligned} 3 + a + b + c + d &= 4 \\ 3 - a + b - c + d &= -12 \\ 12 + 3a + 2b + c &= 12 \\ -12 + 3a - 2b + c &= 36 \end{aligned}
上の 2 つの式を足すと b + d = -7、引くと a + c = 8。下の 2 つを足すと 3a + c = 24、引くと b = -12 になります。
3a + c = 24 から a + c = 8 を引いて a = 8、c = 0。b + d = -7 に b = -12 を代入すると d = 5 です。
g(x) = 3x^4 + 8x^3 - 12x^2 + 5
求めた g(x) から h(x) を引くと 3x^4 - 6x^2 + 3 = 3(x^2 - 1)^2 になる。x = \pm 1 で 0 になる 2 乗の形なので、2 つのグラフはそこで接しています。
|x| < 1 では f'(x) = 12x(2x - 1) で、x = 0 と x = \dfrac{1}{2} で符号が変わります。
|x| > 1 では f'(x) = 12x^3 + 24x^2 - 24x で、因数分解すると 12x(x^2 + 2x - 2)。x^2 + 2x - 2 = 0 の解は x = -1 \pm \sqrt{3} で、|x| > 1 に含まれるのは -1 - \sqrt{3} だけ。
x > 1 では 12x > 0 かつ x^2 + 2x - 2 > 1 だから f'(x) > 0。
x < -1 では 12x < 0 で、x^2 + 2x - 2 は x < -1 - \sqrt{3} で正、-1 - \sqrt{3} < x < -1 で負。f'(x) の符号はその逆になり、x = -1 - \sqrt{3} の前後で負から正へ変わる。
x = \pm 1 でも f'(x) は左右でつながっているため、f(x) は x = -1 - \sqrt{3} と x = \dfrac{1}{2} で極小、x = 0 で極大になります。
x = \dfrac{1}{2} での値は h\left(\dfrac{1}{2}\right) = 1 - \dfrac{3}{2} + 2 = \dfrac{3}{2} です。
もう一方は、g(x) を x^2 + 2x - 2 で割ると計算が軽くなる。商は 3x^2 + 2x - 10、余りは 24x - 15 です。
x = -1 - \sqrt{3} では x^2 + 2x - 2 = 0 となるため、g(x) の値は余りの 24x - 15 の値と等しく、-24 - 24\sqrt{3} - 15 = -39 - 24\sqrt{3}。
これは \dfrac{3}{2} より小さく、最小値は -39 - 24\sqrt{3}、それを与える x の値は -1 - \sqrt{3} です。