，，， は実数とし，実数全体を定義域とする関数
のとき
のとき
はすべての の値で微分可能であるとする。以下の問いに答えよ。
(1) ，，， の値を求めよ。
(2) 関数 の最小値と，それを与える の値を求めよ。
の式を 、 の式を とおきます。どちらも多項式だから、 以外ではそのまま微分できる。
で微分可能になるのは、 でグラフがつながり、さらに で傾きもそろうとき。 も同じです。
、 で、 から 、。 を使うと、 つの条件は次のようになる。
上の つの式を足すと 、引くと 。下の つを足すと 、引くと になります。
から を引いて 、。 に を代入すると です。
求めた から を引くと になる。 で になる 乗の形なので、 つのグラフはそこで接しています。
では で、 と で符号が変わります。
では で、因数分解すると 。 の解は で、 に含まれるのは だけ。
では かつ だから 。
では で、 は で正、 で負。 の符号はその逆になり、 の前後で負から正へ変わる。
でも は左右でつながっているため、 は と で極小、 で極大になります。
での値は です。
もう一方は、 を で割ると計算が軽くなる。商は 、余りは です。
では となるため、 の値は余りの の値と等しく、。
これは より小さく、最小値は 、それを与える の値は です。