数列 \{a_n\} を a_1 = \sqrt{2}，a_2 = \sqrt{5}，および a_{n+2} = a_{n+1} \cdot a_n^2 (n = 1,\ 2,\ 3,\ \cdots) で定める。a_n \geqq 10^{2026} となる最小の n を求めよ。
a_1、a_2 は正で、漸化式から a_n はすべて正です。b_n = \log_{10}a_n とおき、a_{n+2} = a_{n+1} \cdot a_n^2 の両辺の常用対数をとると、b_{n+2} = b_{n+1}+2b_n となる。
はじめの 2 項は b_1 = \dfrac{1}{2}\log_{10}2、b_2 = \dfrac{1}{2}\log_{10}5 です。\log_{10}2+\log_{10}5 = \log_{10}10 = 1 だから、b_1+b_2 = \dfrac{1}{2} になる。
a_n \geqq 10^{2026} は b_n \geqq 2026 と同じ条件で、ここからは b_n を追います。
漸化式は b_{n+2}+b_{n+1} = 2(b_{n+1}+b_n) とも、b_{n+2}-2b_{n+1} = -(b_{n+1}-2b_n) とも書けます。和 b_{n+1}+b_n は公比 2、差 b_{n+1}-2b_n は公比 -1 の等比数列になる。
初項は b_2+b_1 = \dfrac{1}{2} と b_2-2b_1 = \dfrac{1-3\log_{10}2}{2} で、b_{n+1}+b_n = 2^{n-2}、b_{n+1}-2b_n = (-1)^{n-1} \cdot \dfrac{1-3\log_{10}2}{2} です。
1 つ目の式から 2 つ目の式を引くと 3b_n が残り、b_n = \dfrac{2^{n-2}}{3}+(-1)^n \cdot \dfrac{1-3\log_{10}2}{6} となる。
2^3 = 8 < 10 から 3\log_{10}2 < 1 で、\log_{10}2 > 0 とあわせて 0 < 1-3\log_{10}2 < 1 です。うしろの項の絶対値は \dfrac{1}{6} より小さい。
b_n は、前の項 \dfrac{2^{n-2}}{3} から \dfrac{1}{6} 未満しかずれません。b_n が 2026 をどこでまたぐかは、前の項だけで決まる。
b_n はすべて正で、b_{n+2} = b_{n+1}+2b_n > b_{n+1} だから、b_2 から先は増え続けます。b_1 < b_2 もあわせて、b_n は n とともに増える。
n = 14 では \dfrac{2^{12}}{3} = \dfrac{4096}{3} < 1366 で、b_{14} < 1366+\dfrac{1}{6} < 2026 です。n = 15 では \dfrac{2^{13}}{3} = \dfrac{8192}{3} > 2730 で、b_{15} > 2730-\dfrac{1}{6} > 2026 となる。
b_{14} < 2026 \leqq b_{15} だから、a_n \geqq 10^{2026} となる最小の n は 15 です。