座標平面において， 座標も 座標も整数である点全体の集合上を移動する点 がある。時刻 に点 は原点 にある。 以上の整数 に対し，時刻 に点 が点 にあるとき，時刻 での点 の位置は 点 ，，， のいずれかであり，また，どの位置にある確率も である。
以下の問いに答えよ。
(1) 時刻 に点 が点 にある確率を求めよ。
(2) 時刻 に点 が双曲線 上にある確率を求めよ。
(3) 時刻 に点 が双曲線 上にあるとき，時刻 ，時刻 ，，時刻 のいずれかに点 が点 にある条件付き確率を求めよ。
回の移動のうち、右・左・上・下が 回、 回、 回、 回だったとします。 に着くのは 、 のときで、回数の合計は だから になる。
なら右 回・上 回・下 回で、並べ方は 通り。
なら右 回と左・上・下 回ずつで 通り、 なら右 回・左 回で 通りある。
合わせて 通りです。 回の移動は全部で 通りあり、どれも同じ確率で起こるため、確率は 。
で、 と は差が だから偶奇がそろいます。積の が偶数なので つとも偶数で、組は 、、 と、その両方の符号を変えたもの。
ここから双曲線上の格子点は と の 点に決まる。
までは縦横あわせて 歩だから、 回とも右か上に進むほかなく、右 回・上 回の並べ方で 通り。
対称性から の 点はどれも 通り、 は と同じ 通りです。
合わせて 通りで、確率は になる。
回の移動で は だけ増えるか減るため、 の点にいられるのは偶数の時刻に限られる。 へは少なくとも 回かかり、時刻 から のうちでそこにいられるのは時刻 だけです。
時刻 に にいる移動は、右 回・上 回の並べ方で 通り。
残りの 回で双曲線上に着くのは、下・下で へ行く 通りと、右と上を 回ずつで へ行く 通りだけ。ほかの 点は から 歩より遠い。
条件を満たす移動は 通り。どの移動も同じ確率で起こるため、条件付き確率は通り数の比になり、 です。
、 とおくと、右・左・上・下の移動で はそれぞれ 、、、 だけ変わります。
と の の組み合わせ 通りが、 通りの移動にちょうど つずつ対応する。 回の移動を数えることは、 の増減の並びと の増減の並びを別々に数えることと同じです。
は で、どちらも が 回、 が 回。並べ方は と で 通りずつあり、 が場合分けで数えた値と一致する。
は 、 で、 は 回とも 、 は が 回。 通りで、こちらも一致します。