(1) のとき，不等式 を示せ。
(2) 次の極限を求めよ。
差を関数にします。 とおき、 で を示せばよいことになります。
です。 では負、 では正ですから、 で最小になります。
その最小値は です。よって 、つまり が示せました。
図で見ると、 が に で接し、そこから下へ離れていきます。等号は のときだけです。
は で に近づきます。すると の中身は に近づき、 そのものは に近づきます。
その へ近づくものに を掛けています。答えは、近づく速さで決まります。
はおよそ の大きさです。すると はおよそ で、 を掛けると が残ります。
図は を大きくしていったときの です。 に重なっていきます。あとは、これを不等式で押さえます。
(1) を に使うと 、 に使って整理すると です。
そのものにも (1) を使います。 と の 2 つから、 が出ます。
では です。これを使って を掛けた形を両側から押さえると、 となります。
左も右も の定数倍で、その定数は でどちらも に近づきます。
両側とも について積分できます。もとになるのは です。
上からの評価の積分は 、下からの評価の積分は です。
で ですから、どちらも へ近づきます。はさみうちの原理から、求める極限は です。
値は です。図の塗った面積がそれにあたります。