(1) x > 0 のとき，不等式 \log x \leqq x-1 を示せ。
(2) 次の極限を求めよ。
\displaystyle\lim_{n \to \infty} n \int_1^2 \log\left(\dfrac{1+x^{\frac{1}{n}}}{2}\right) dx
差を関数にします。f(x) = x-1-\log x とおき、x > 0 で f(x) \geqq 0 を示せばよいことになります。
f'(x) = 1-\dfrac{1}{x} です。0 < x < 1 では負、x > 1 では正ですから、x = 1 で最小になります。
その最小値は f(1) = 1-1-\log 1 = 0 です。よって f(x) \geqq 0、つまり \log x \leqq x-1 が示せました。
図で見ると、y = \log x が y = x-1 に x = 1 で接し、そこから下へ離れていきます。等号は x = 1 のときだけです。
x^{\frac{1}{n}} は n \to \infty で 1 に近づきます。すると \log の中身は 1 に近づき、\log そのものは 0 に近づきます。
その 0 へ近づくものに n を掛けています。答えは、近づく速さで決まります。
x^{\frac{1}{n}}-1 はおよそ \dfrac{\log x}{n} の大きさです。すると \log\dfrac{1+x^{\frac{1}{n}}}{2} はおよそ \dfrac{\log x}{2n} で、n を掛けると \dfrac{\log x}{2} が残ります。
図は n を大きくしていったときの y = n\log\dfrac{1+x^{\frac{1}{n}}}{2} です。y = \dfrac{\log x}{2} に重なっていきます。あとは、これを不等式で押さえます。
(1) を t = x^{\frac{1}{n}} に使うと \dfrac{\log x}{n} \leqq x^{\frac{1}{n}}-1、t = x^{-\frac{1}{n}} に使って整理すると n\left(x^{\frac{1}{n}}-1\right) \leqq x^{\frac{1}{n}}\log x です。
\log そのものにも (1) を使います。\log\dfrac{1+t}{2} \leqq \dfrac{t-1}{2} と \log\dfrac{2}{1+t} \leqq \dfrac{1-t}{1+t} の 2 つから、\dfrac{t-1}{1+t} \leqq \log\dfrac{1+t}{2} \leqq \dfrac{t-1}{2} が出ます。
1 \leqq x \leqq 2 では 1 \leqq x^{\frac{1}{n}} \leqq 2^{\frac{1}{n}} です。これを使って n を掛けた形を両側から押さえると、\dfrac{\log x}{1+2^{\frac{1}{n}}} \leqq n\log\dfrac{1+x^{\frac{1}{n}}}{2} \leqq \dfrac{2^{\frac{1}{n}}\log x}{2} となります。
左も右も \log x の定数倍で、その定数は n \to \infty でどちらも \dfrac{1}{2} に近づきます。
両側とも x について積分できます。もとになるのは \displaystyle\int_1^2 \log x dx = \Big[x\log x-x\Big]_1^2 = 2\log 2-1 です。
上からの評価の積分は \dfrac{2^{\frac{1}{n}}(2\log 2-1)}{2}、下からの評価の積分は \dfrac{2\log 2-1}{1+2^{\frac{1}{n}}} です。
n \to \infty で 2^{\frac{1}{n}} \to 1 ですから、どちらも \dfrac{2\log 2-1}{2} へ近づきます。はさみうちの原理から、求める極限は \log 2-\dfrac{1}{2} です。
値は 0.1931\cdots です。図の塗った面積がそれにあたります。