a を実数とし，座標平面上の点 (0,\,a) を中心とする半径 1 の円の周を C とする。
(1) C が，不等式 y > x^2 の表す領域に含まれるような a の範囲を求めよ。
(2) a は (1) で求めた範囲にあるとする。C のうち x \geqq 0 かつ y < a を満たす部分を S とする。S 上の点 \mathrm{P} に対し，点 \mathrm{P} での C の接線が放物線 y = x^2 によって切り取られてできる線分の長さを L_{\mathrm{P}} とする。L_{\mathrm{Q}} = L_{\mathrm{R}} となる S 上の相異なる 2 点 \mathrm{Q}, \mathrm{R} が存在するような a の範囲を求めよ。
C は中心 (0,\,a)，半径 1 の円周です。C 上の点は (\cos t,\, a+\sin t) と書けます。
y > x^2 に含まれる条件は，すべての実数 t で a + \sin t > \cos^2 t が成り立つことです。
\cos^2 t = 1 - \sin^2 t を入れると \sin t だけの式になり，a > -\left(\sin t + \dfrac{1}{2}\right)^2 + \dfrac{5}{4} となります。
右辺は \sin t = -\dfrac{1}{2} のとき最大の \dfrac{5}{4} をとります。それより大きければどの t でも成り立つので，答えは a > \dfrac{5}{4} です。
S は C のうち x \geqq 0 かつ y < a の部分で，円の右下の 4 分の 1 です。
S 上の点 \mathrm{P} での接線を y = mx + k とおきます。\mathrm{P} が真下から右へ動くにつれ，傾き m は 0 から限りなく大きいところまで動きます。
中心と接線の距離が 1 ですから \dfrac{|k-a|}{\sqrt{m^2+1}} = 1，つまり k = a \pm \sqrt{m^2+1} です。
\mathrm{P} は中心より下にあり，接線も中心の下を通るので k < a です。取るのは k = a - \sqrt{m^2+1} のほうです。
接線と放物線の交点の x 座標を \alpha, \beta とすると，これは x^2 - mx - k = 0 の 2 解です。\alpha+\beta = m, \alpha\beta = -k = \sqrt{m^2+1} - a となります。
2 点は放物線の上にあるので，y の差は \beta^2-\alpha^2 です。よって L_{\mathrm{P}}^2 = (\beta-\alpha)^2 + (\beta^2-\alpha^2)^2 = (\beta-\alpha)^2\{1 + (\alpha+\beta)^2\} と書けます。
(\beta-\alpha)^2 = (\alpha+\beta)^2 - 4\alpha\beta = m^2 - 4\sqrt{m^2+1} + 4a ですから，L_{\mathrm{P}}^2 = \left(m^2 - 4\sqrt{m^2+1} + 4a\right)(m^2+1) です。
根号ごと X = \sqrt{m^2+1} とおくと m^2 = X^2-1 で，L_{\mathrm{P}}^2 = X^4 - 4X^3 + (4a-1)X^2 という X だけの 4 次式になります。\mathrm{P} が S を動くと X は 1 以上のすべてを動きます。
F(X) = X^4 - 4X^3 + (4a-1)X^2 とおきます。L_{\mathrm{Q}} = L_{\mathrm{R}} となる相異なる 2 点があるとは，F が X \geqq 1 の異なる 2 つの X で同じ値をとることです。
X と \mathrm{P} は 1 対 1 に対応するので，これは F が X \geqq 1 で単調でないこと，つまりそこに極値を持つことと同じです。
F'(X) = 2X\{2X^2 - 6X + (4a-1)\} です。X \geqq 1 で 2X > 0 ですから，符号を決めるのは G(X) = 2X^2 - 6X + 4a - 1 だけです。
G の軸 X = \dfrac{3}{2} は X \geqq 1 の中にあり，a > \dfrac{5}{4} から G(1) = 4a-5 > 0 です。G が符号を変える条件は谷が負であること，G\left(\dfrac{3}{2}\right) = 4a - \dfrac{11}{2} < 0 です。求める範囲は \dfrac{5}{4} < a < \dfrac{11}{8} となります。