を実数とし，座標平面上の点 を中心とする半径 の円の周を とする。
(1) が，不等式 の表す領域に含まれるような の範囲を求めよ。
(2) は (1) で求めた範囲にあるとする。 のうち かつ を満たす部分を とする。 上の点 に対し，点 での の接線が放物線 によって切り取られてできる線分の長さを とする。 となる 上の相異なる 点 , が存在するような の範囲を求めよ。
は中心 ，半径 の円周です。 上の点は と書けます。
に含まれる条件は，すべての実数 で が成り立つことです。
を入れると だけの式になり， となります。
右辺は のとき最大の をとります。それより大きければどの でも成り立つので，答えは です。
は のうち かつ の部分で，円の右下の 分の です。
上の点 での接線を とおきます。 が真下から右へ動くにつれ，傾き は から限りなく大きいところまで動きます。
中心と接線の距離が ですから ，つまり です。
は中心より下にあり，接線も中心の下を通るので です。取るのは のほうです。
接線と放物線の交点の 座標を , とすると，これは の 解です。, となります。
点は放物線の上にあるので， の差は です。よって と書けます。
ですから， です。
根号ごと とおくと で， という だけの 次式になります。 が を動くと は 以上のすべてを動きます。
とおきます。 となる相異なる 点があるとは， が の異なる つの で同じ値をとることです。
と は 対 に対応するので，これは が で単調でないこと，つまりそこに極値を持つことと同じです。
です。 で ですから，符号を決めるのは だけです。
の軸 は の中にあり， から です。 が符号を変える条件は谷が負であること， です。求める範囲は となります。