空間内に 点 , , , があり， である。また，, である。 を正の実数とし，点 , は , をみたす点とする。点 は , をみたしていて，さらに 点 , , , は同一平面上にある。, , とおく。
(1) を , , , を用いて表せ。
(2) 実数 が の範囲を動くとき， を最小にする の値と， の最小値を求めよ。
長さがどれも なので です。角の条件から 、 となります。
と は 開いているので平行ではなく、 はその つが張る平面に垂直です。ですから , , は 次独立で、空間のどのベクトルもこの つの組み合わせでただ 通りに書けます。
座標を入れる必要はありません。この つの内積の値だけで、最後まで進みます。
が他の つと垂直であることは、このあと何度も効きます。 との内積を取ると と の項が消えるからです。
とおきます。 との内積を取ると と の項が消えて ですから、 です。
との内積は です。 がここで効きます。よって となります。
です。 の係数は で決まりました。
しかし と の つに対して、式は の 本しかありません。残る 本が、まだ使っていない「同一平面上にある」という条件です。
点 , , , が同一平面上にあるとは、 と書ける実数 , があるということです。
、 ですから、右辺は です。 次独立なので係数を比べられます。
の係数から 、 から 、 から です。これを へ入れると となります。
展開すると が打ち消し合い、 すなわち が残ります。よって 、 となり、 です。
を展開します。 は他の つと垂直なので、交差する項で残るのは のところだけです。
となります。 の奇数乗が出てこないので、 とおけます。
です。 のとき は より大きい値を全部取るので、 すなわち で最小になります。
最小値は です。このとき で となり、 は直線 の上に乗ります。 の成分がちょうど消えるところが、いちばん近いところでした。