空間内に 4 点 \mathrm{O}, \mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C} があり，\mathrm{OA} = \mathrm{OB} = \mathrm{OC} = 1 である。また，\angle \mathrm{AOB} = \angle \mathrm{AOC} = 90^\circ, \angle \mathrm{BOC} = 60^\circ である。t を正の実数とし，点 \mathrm{D}, \mathrm{E} は \vec{\mathrm{OD}} = t\vec{\mathrm{OB}}, \vec{\mathrm{OE}} = (2t+1)\vec{\mathrm{OC}} をみたす点とする。点 \mathrm{P} は \vec{\mathrm{OA}} \cdot \vec{\mathrm{OP}} = -1, \vec{\mathrm{OB}} \cdot \vec{\mathrm{OP}} = 1 をみたしていて，さらに 4 点 \mathrm{A}, \mathrm{D}, \mathrm{E}, \mathrm{P} は同一平面上にある。\vec{\mathrm{OA}} = \vec{a}, \vec{\mathrm{OB}} = \vec{b}, \vec{\mathrm{OC}} = \vec{c} とおく。
(1) \vec{\mathrm{AP}} を \vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, t を用いて表せ。
(2) 実数 t が t > 0 の範囲を動くとき，|\vec{\mathrm{AP}}| を最小にする t の値と，|\vec{\mathrm{AP}}| の最小値を求めよ。
長さがどれも 1 なので \vec{a} \cdot \vec{a} = \vec{b} \cdot \vec{b} = \vec{c} \cdot \vec{c} = 1 です。角の条件から \vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{a} \cdot \vec{c} = \cos 90^\circ = 0、\vec{b} \cdot \vec{c} = \cos 60^\circ = \dfrac{1}{2} となります。
\vec{b} と \vec{c} は 60^\circ 開いているので平行ではなく、\vec{a} はその 2 つが張る平面に垂直です。ですから \vec{a}, \vec{b}, \vec{c} は 1 次独立で、空間のどのベクトルもこの 3 つの組み合わせでただ 1 通りに書けます。
座標を入れる必要はありません。この 6 つの内積の値だけで、最後まで進みます。
\vec{a} が他の 2 つと垂直であることは、このあと何度も効きます。\vec{a} との内積を取ると \vec{b} と \vec{c} の項が消えるからです。
\vec{\mathrm{OP}} = x\vec{a} + y\vec{b} + z\vec{c} とおきます。\vec{a} との内積を取ると \vec{b} と \vec{c} の項が消えて \vec{a} \cdot \vec{\mathrm{OP}} = x ですから、x = -1 です。
\vec{b} との内積は \vec{b} \cdot \vec{\mathrm{OP}} = y + \dfrac{z}{2} です。\vec{b} \cdot \vec{c} = \dfrac{1}{2} がここで効きます。よって y + \dfrac{z}{2} = 1 となります。
\vec{\mathrm{AP}} = \vec{\mathrm{OP}} - \vec{a} = -2\vec{a} + y\vec{b} + z\vec{c} です。\vec{a} の係数は -2 で決まりました。
しかし y と z の 2 つに対して、式は y + \dfrac{z}{2} = 1 の 1 本しかありません。残る 1 本が、まだ使っていない「同一平面上にある」という条件です。
4 点 \mathrm{A}, \mathrm{D}, \mathrm{E}, \mathrm{P} が同一平面上にあるとは、\vec{\mathrm{AP}} = \alpha\vec{\mathrm{AD}} + \beta\vec{\mathrm{AE}} と書ける実数 \alpha, \beta があるということです。
\vec{\mathrm{AD}} = t\vec{b} - \vec{a}、\vec{\mathrm{AE}} = (2t+1)\vec{c} - \vec{a} ですから、右辺は -(\alpha+\beta)\vec{a} + \alpha t\vec{b} + \beta(2t+1)\vec{c} です。1 次独立なので係数を比べられます。
\vec{a} の係数から \alpha + \beta = 2、\vec{b} から y = \alpha t、\vec{c} から z = \beta(2t+1) です。これを y + \dfrac{z}{2} = 1 へ入れると 2\alpha t + (2-\alpha)(2t+1) = 2 となります。
展開すると 2\alpha t が打ち消し合い、4t + 2 - \alpha = 2 すなわち \alpha = 4t が残ります。よって y = 4t^2、z = (2-4t)(2t+1) = 2-8t^2 となり、\vec{\mathrm{AP}} = -2\vec{a} + 4t^2\vec{b} + (2-8t^2)\vec{c} です。
|\vec{\mathrm{AP}}|^2 を展開します。\vec{a} は他の 2 つと垂直なので、交差する項で残るのは \vec{b} \cdot \vec{c} のところだけです。
|\vec{\mathrm{AP}}|^2 = 4 + 16t^4 + (2-8t^2)^2 + 2 \cdot 4t^2(2-8t^2) \cdot \dfrac{1}{2} = 48t^4 - 24t^2 + 8 となります。t の奇数乗が出てこないので、u = t^2 とおけます。
48u^2 - 24u + 8 = 48\left(u - \dfrac{1}{4}\right)^2 + 5 です。t > 0 のとき u は 0 より大きい値を全部取るので、u = \dfrac{1}{4} すなわち t = \dfrac{1}{2} で最小になります。
最小値は \sqrt{5} です。このとき \beta = 2-4t = 0 で \vec{\mathrm{AP}} = -2\vec{a} + \vec{b} = 2\vec{\mathrm{AD}} となり、\mathrm{P} は直線 \mathrm{AD} の上に乗ります。\vec{c} の成分がちょうど消えるところが、いちばん近いところでした。