3 次関数 f(x) および実数 \alpha，\beta は以下の 3 つの条件を満たす。
(i) f(x) の 3 次の項の係数は 1 である
(ii) f(x) は x = \alpha と x = \beta において極値をとる
(iii) -2 \leqq \alpha \leqq -1 かつ 1 \leqq \beta \leqq 2
このとき，xy 平面上の 2 点 (\alpha,\ f(\alpha))，(\beta,\ f(\beta)) を通る直線の傾き k のとり得る値の範囲を求めよ。
f(x) の 3 次の項の係数が 1 だから、f'(x) は x^2 の係数が 3 の 2 次式です。x = \alpha と x = \beta で極値をとるので f'(\alpha) = f'(\beta) = 0 で、\alpha < \beta から f'(x) = 3(x-\alpha)(x-\beta) と書ける。
展開すると f'(x) = 3x^2-3(\alpha+\beta)x+3\alpha\beta で、c を定数として f(x) = x^3-\dfrac{3}{2}(\alpha+\beta)x^2+3\alpha\beta x+c です。逆にこの形なら、f'(x) の符号が x = \alpha、x = \beta の前後で変わり、そこで極値をとる。
k = \dfrac{f(\beta)-f(\alpha)}{\beta-\alpha} です。\beta^3-\alpha^3 = (\beta-\alpha)(\beta^2+\alpha\beta+\alpha^2) と \beta^2-\alpha^2 = (\beta-\alpha)(\beta+\alpha) を使って \beta-\alpha で割ると、c は消えて k = (\alpha^2+\alpha\beta+\beta^2)-\dfrac{3}{2}(\alpha+\beta)^2+3\alpha\beta となる。
整理すると k = -\dfrac{1}{2}\alpha^2+\alpha\beta-\dfrac{1}{2}\beta^2 = -\dfrac{(\beta-\alpha)^2}{2} です。傾きは、2 つの x 座標の差 \beta-\alpha だけで決まる。
-2 \leqq \alpha \leqq -1、1 \leqq \beta \leqq 2 から 2 \leqq \beta-\alpha \leqq 4 です。\alpha = -1 に止めて \beta を 1 から 2 まで動かし、次に \beta = 2 に止めて \alpha を -1 から -2 まで動かせば、\beta-\alpha は 2 から 4 までのすべての値をとる。
(\beta-\alpha)^2 は 4 以上 16 以下のすべての値をとり、k = -\dfrac{(\beta-\alpha)^2}{2} のとり得る値の範囲は -8 \leqq k \leqq -2 です。