a は 0 < a < \pi を満たす実数とする。2 つの関数 y = \sin(x+a) と y = \sin(x-a) のグラフの，-\dfrac{\pi}{2} \leqq x \leqq \dfrac{\pi}{2} の部分が囲む領域を D_a とする。x 軸のまわりに D_a を 1 回転してできる立体の体積を求めよ。
加法定理で 2 つを展開すると \sin x\cos a の項が打ち消し合い、差は \sin(x+a)-\sin(x-a) = 2\sin a\cos x です。
0 < a < \pi から \sin a > 0 で、-\dfrac{\pi}{2} < x < \dfrac{\pi}{2} では \cos x > 0 だから、この範囲では y = \sin(x+a) のグラフがつねに上にある。
両端の x = \pm\dfrac{\pi}{2} では \cos x = 0 で、2 つのグラフは点 \left(\dfrac{\pi}{2},\ \cos a\right) と点 \left(-\dfrac{\pi}{2},\ -\cos a\right) で交わります。D_a はこの 2 点のあいだで \sin(x-a) \leqq y \leqq \sin(x+a) をみたす部分になる。
a を \pi-a にかえると、\sin(x+\pi-a) = -\sin(x-a)、\sin(x-\pi+a) = -\sin(x+a) となる。2 本のグラフは x 軸について折り返した位置にいれかわり、D_{\pi-a} は D_a を x 軸で折り返した図形です。
折り返した図形を x 軸のまわりに回しても、できる立体は変わりません。0 < a \leqq \dfrac{\pi}{2} の場合を求めておけば、残りの a は \pi-a におきかえて決まる。
x を -x にかえると \sin(-x+a) = -\sin(x-a)、\sin(-x-a) = -\sin(x+a) で、点 (x,\ y) を点 (-x,\ -y) に移しても D_a に入る条件は変わらない。D_a は原点について対称です。
x 軸に垂直な平面で切った切り口は、x と -x で同じ形になる。体積は、0 \leqq x \leqq \dfrac{\pi}{2} の部分を回した立体の 2 倍として求められます。
ここからは 0 < a \leqq \dfrac{\pi}{2}、0 \leqq x \leqq \dfrac{\pi}{2} で考えます。x 軸に垂直な平面で切った切り口は、D_a の縦の線分 \sin(x-a) \leqq y \leqq \sin(x+a) を x 軸のまわりに回した図形です。
0 \leqq x \leqq a では \sin(x-a) \leqq 0 \leqq \sin(x+a) で、線分は x 軸をまたぐ。回すと円板になり、半径は x 軸から遠いほうの端までの長さです。a < x \leqq \dfrac{\pi}{2} では両端とも正で、内側がくり抜かれた輪になる。
どちらの端が遠いかは、2 乗の差の符号で決まります。半角の公式で \sin^2(x+a)-\sin^2(x-a) = \dfrac{\cos(2x-2a)-\cos(2x+2a)}{2} と直し、加法定理で分子を展開すると 2\sin 2x\sin 2a で、差は \sin 2x\sin 2a になる。
0 \leqq x \leqq a \leqq \dfrac{\pi}{2} では \sin 2x \geqq 0、\sin 2a \geqq 0 で、上の端のほうが遠い。切り口の面積は、円板の部分で \pi\sin^2(x+a)、輪の部分で \pi\{\sin^2(x+a)-\sin^2(x-a)\} = \pi\sin 2x\sin 2a です。
体積を V とします。円板の部分と輪の部分を足して 2 倍し、V = 2\pi\displaystyle\int_0^a\sin^2(x+a)\,dx+2\pi\sin 2a\displaystyle\int_a^{\frac{\pi}{2}}\sin 2x\,dx となる。
前の積分では \sin^2(x+a) = \dfrac{1-\cos(2x+2a)}{2} と直し、原始関数 \dfrac{x}{2}-\dfrac{\sin(2x+2a)}{4} に x = a と x = 0 を入れて引きます。値は \dfrac{a}{2}-\dfrac{\sin 4a-\sin 2a}{4} です。
後ろの積分は、-\dfrac{\cos 2x}{2} に x = \dfrac{\pi}{2} と x = a を入れて引いた \dfrac{1+\cos 2a}{2} になる。\sin 2a をかけると \dfrac{\sin 2a}{2}+\dfrac{\sin 2a\cos 2a}{2} です。
前の積分の \sin 4a を 2\sin 2a\cos 2a に直すと、\sin 2a\cos 2a の項は打ち消し合う。残りは \dfrac{a}{2}+\dfrac{\sin 2a}{4}+\dfrac{\sin 2a}{2} = \dfrac{a}{2}+\dfrac{3}{4}\sin 2a で、2\pi 倍して V = \pi a+\dfrac{3}{2}\pi\sin 2a となります。
\dfrac{\pi}{2} < a < \pi のときは 0 < \pi-a < \dfrac{\pi}{2} で、体積は \pi-a のときと等しい。前の式の a を \pi-a におきかえ、\sin(2\pi-2a) = -\sin 2a を使うと V = \pi(\pi-a)-\dfrac{3}{2}\pi\sin 2a です。
a = \dfrac{\pi}{2} では、どちらの式も \dfrac{\pi^2}{2} になります。V のグラフは a = \dfrac{\pi}{2} を境に左右対称で、a が 0 や \pi に近づくと V は 0 に近づく。
求める体積は、0 < a \leqq \dfrac{\pi}{2} のとき \pi a+\dfrac{3}{2}\pi\sin 2a、\dfrac{\pi}{2} < a < \pi のとき \pi(\pi-a)-\dfrac{3}{2}\pi\sin 2a。