は を満たす実数とする。 つの関数 と のグラフの， の部分が囲む領域を とする。 軸のまわりに を 回転してできる立体の体積を求めよ。
加法定理で つを展開すると の項が打ち消し合い、差は です。
から で、 では だから、この範囲では のグラフがつねに上にある。
両端の では で、 つのグラフは点 と点 で交わります。 はこの 点のあいだで をみたす部分になる。
を にかえると、、 となる。 本のグラフは 軸について折り返した位置にいれかわり、 は を 軸で折り返した図形です。
折り返した図形を 軸のまわりに回しても、できる立体は変わりません。 の場合を求めておけば、残りの は におきかえて決まる。
を にかえると 、 で、点 を点 に移しても に入る条件は変わらない。 は原点について対称です。
軸に垂直な平面で切った切り口は、 と で同じ形になる。体積は、 の部分を回した立体の 倍として求められます。
ここからは 、 で考えます。 軸に垂直な平面で切った切り口は、 の縦の線分 を 軸のまわりに回した図形です。
では で、線分は 軸をまたぐ。回すと円板になり、半径は 軸から遠いほうの端までの長さです。 では両端とも正で、内側がくり抜かれた輪になる。
どちらの端が遠いかは、 乗の差の符号で決まります。半角の公式で と直し、加法定理で分子を展開すると で、差は になる。
では 、 で、上の端のほうが遠い。切り口の面積は、円板の部分で 、輪の部分で です。
体積を とします。円板の部分と輪の部分を足して 倍し、 となる。
前の積分では と直し、原始関数 に と を入れて引きます。値は です。
後ろの積分は、 に と を入れて引いた になる。 をかけると です。
前の積分の を に直すと、 の項は打ち消し合う。残りは で、 倍して となります。
のときは で、体積は のときと等しい。前の式の を におきかえ、 を使うと です。
では、どちらの式も になります。 のグラフは を境に左右対称で、 が や に近づくと は に近づく。
求める体積は、 のとき 、 のとき 。