中心を含むのはつの弧がどれも半周より短いとき

選んだ点は、円周をつの弧に分けます。三角形の角は向かい合う弧に対する円周角で、その弧の中心角の半分になる。

つの弧がどれも半周より短ければ、つの角はどれもより小さく、外心である円の中心は三角形の内部にあります。弧のつが半周より長いと、それに向かい合う角が鈍角になり、中心は三角形の外に出る。

が奇数だと、どのつの頂点も直径の両端にならないため、ちょうど半周の弧はできない。とおき、弧の長さを、となり合う頂点の間隔いくつぶんかで数えます。半周はぶんなので、半周より短い弧はぶん以下の弧になる。

中心を含まない三角形は個

中心を含まない三角形ではつの弧が半周より長く、点は残りの半周より短い部分に収まる。その部分を反時計回りにたどったときの最初の頂点をとすると、ほかの点はのぶん先からぶん先までの個の頂点から選ばれています。

逆に、とその先の個から選んだ点でつくる三角形は、ぶん以下の弧に収まるので中心を含まない。は三角形ごとにつに決まります。別の頂点でも同じことが起きたとすると、からへ、からへ反時計回りに進む弧がどちらもぶん以下で、合わせても周のぶんに届かない。

の選び方が通り、残りの点の選び方が通りで、中心を含まない三角形は個です。

三角形は全部で個あり、どれも同じ確からしさで選ばれます。、を使うと、中心を含まない三角形の割合はとなる。

から引くとで、を戻してです。

ではで、正三角形そのものが中心を含む。で、でと小さくなり、を大きくするとに近づきます。