n を 3 以上の奇数とする。円に内接する正 n 角形の頂点から無作為に相異なる 3 点を選んだとき，その 3 点を頂点とする三角形の内部に円の中心が含まれる確率 p_n を求めよ。
選んだ 3 点は、円周を 3 つの弧に分けます。三角形の角は向かい合う弧に対する円周角で、その弧の中心角の半分になる。
3 つの弧がどれも半周より短ければ、3 つの角はどれも 90^\circ より小さく、外心である円の中心は三角形の内部にあります。弧の 1 つが半周より長いと、それに向かい合う角が鈍角になり、中心は三角形の外に出る。
n が奇数だと、どの 2 つの頂点も直径の両端にならないため、ちょうど半周の弧はできない。n = 2m+1 とおき、弧の長さを、となり合う頂点の間隔いくつぶんかで数えます。半周は m+\dfrac{1}{2} ぶんなので、半周より短い弧は m ぶん以下の弧になる。
中心を含まない三角形では 1 つの弧が半周より長く、3 点は残りの半周より短い部分に収まる。その部分を反時計回りにたどったときの最初の頂点を \mathrm{P} とすると、ほかの 2 点は \mathrm{P} の 1 ぶん先から m ぶん先までの m 個の頂点から選ばれています。
逆に、\mathrm{P} とその先の m 個から選んだ 2 点でつくる三角形は、m ぶん以下の弧に収まるので中心を含まない。\mathrm{P} は三角形ごとに 1 つに決まります。別の頂点 \mathrm{Q} でも同じことが起きたとすると、\mathrm{P} から \mathrm{Q} へ、\mathrm{Q} から \mathrm{P} へ反時計回りに進む弧がどちらも m ぶん以下で、合わせても 1 周の 2m+1 ぶんに届かない。
\mathrm{P} の選び方が n 通り、残りの 2 点の選び方が _m\mathrm{C}_2 通りで、中心を含まない三角形は n \cdot {}_m\mathrm{C}_2 = \dfrac{nm(m-1)}{2} 個です。
三角形は全部で _n\mathrm{C}_3 = \dfrac{n(n-1)(n-2)}{6} 個あり、どれも同じ確からしさで選ばれます。n-1 = 2m、n-2 = 2m-1 を使うと、中心を含まない三角形の割合は \dfrac{3m(m-1)}{2m(2m-1)} = \dfrac{3(m-1)}{2(2m-1)} となる。
1 から引くと \dfrac{m+1}{2(2m-1)} で、m = \dfrac{n-1}{2} を戻して p_n = \dfrac{n+1}{4(n-2)} です。
n = 3 では p_3 = 1 で、正三角形そのものが中心を含む。n = 5 で \dfrac{1}{2}、n = 7 で \dfrac{2}{5} と小さくなり、n を大きくすると \dfrac{1}{4} に近づきます。