正の整数 ，， を用いて， と表される正の整数 の最小値を求めよ。
整数の 乗を で割った余りは か です。 と も 乗の形をしているため、どちらの余りも か になる。
は で割り切れます。余りの和 、、、 のうち の倍数になるのは に限られ、 も も の倍数です。
は素数だから、 が の倍数なら も の倍数になる。 についても同じです。
、（、 は正の整数）とおくと、 です。
これが に等しいので となり、 も の倍数。 とおけば で、 と書けます。
は が小さいほど小さい。 が平方数になる組 のうち、 がいちばん小さいものを探します。
のとき、 が平方数になる を探します。 では で平方数ではなく、 で となる。
が 以上なら で、 を超えます。 が 以上なら で、これも よりずっと大きい。
の最小は で、最小の は です。
から です。このとき 、、 で、、 と両方の式がそろう。
、、 だから、 も成り立ちます。、、 は の比をもつ直角三角形の 辺の長さになる。