正の整数 x，y，z を用いて，N = 9z^2 = x^6+y^4 と表される正の整数 N の最小値を求めよ。
整数の 2 乗を 3 で割った余りは 0 か 1 です。x^6 = (x^3)^2 と y^4 = (y^2)^2 も 2 乗の形をしているため、どちらの余りも 0 か 1 になる。
N = 9z^2 は 3 で割り切れます。余りの和 0+0、0+1、1+0、1+1 のうち 3 の倍数になるのは 0+0 に限られ、x^3 も y^2 も 3 の倍数です。
3 は素数だから、x^3 が 3 の倍数なら x も 3 の倍数になる。y についても同じです。
x = 3a、y = 3b（a、b は正の整数）とおくと、x^6+y^4 = 729a^6+81b^4 = 81(9a^6+b^4) です。
これが 9z^2 に等しいので z^2 = 9(9a^6+b^4) となり、z も 3 の倍数。z = 3c とおけば c^2 = 9a^6+b^4 で、N = 81c^2 と書けます。
N は c が小さいほど小さい。9a^6+b^4 が平方数になる組 (a,\ b) のうち、c がいちばん小さいものを探します。
a = 1 のとき、9+b^4 が平方数になる b を探します。b = 1 では 10 で平方数ではなく、b = 2 で 9+16 = 25 = 5^2 となる。
b が 3 以上なら 9+b^4 \geqq 9+81 = 90 で、25 を超えます。a が 2 以上なら 9a^6 \geqq 9 \cdot 64 = 576 で、これも 25 よりずっと大きい。
c^2 = 9a^6+b^4 の最小は 25 で、最小の c は 5 です。
c = 5 から N = 81 \cdot 25 = 2025 です。このとき x = 3、y = 6、z = 15 で、3^6+6^4 = 729+1296 = 2025、9 \cdot 15^2 = 2025 と両方の式がそろう。
729 = 27^2、1296 = 36^2、2025 = 45^2 だから、27^2+36^2 = 45^2 も成り立ちます。27、36、45 は 3 : 4 : 5 の比をもつ直角三角形の 3 辺の長さになる。