以下の問いに答えよ。
(1) 実数 を変数とする関数 が導関数 および第 次導関数 をもち，すべての に対し をみたすとする。さらに以下の極限値 ， が存在すると仮定する。
，
このとき， をみたす任意の実数 に対し，関数 の値を最大にする がただひとつ存在することを示せ。
(2) 実数 を変数とする関数 はすべての に対し をみたすことを示せ。また，この に対し小問(1)の極限値 ， を求めよ。
(3) 小問(2)の関数 および極限値 ， を考える。 をみたす任意の実数 に対し小問(1)の および を を用いて表せ。
は微分可能だから連続で、 も連続です。 より は減少し、 で に、 で に近づく。
そのため 、 となる がとれ、中間値の定理から と のあいだに となる がある。 は減少するため、 になる点はこの のほかにありません。
では 、 では で、 は まで増加し、そのあと減少します。 ならいつも となり、 を最大にする は ただ つ。
を微分すると です。商の微分で分子は となり、すべての で が成り立つ。
の分子と分母を で割ると で、 のとき から 。 で割った を使えば、 の極限 が求められます。
で となるため、曲線 は直線 を漸近線にもつ。左側の漸近線は で、接線の傾きが と に近づくようすが図で見えます。
のとき、 は を満たす点です。 だから、 の両辺に をかけて となり、。
は、同じ での直線 の高さから曲線 の高さを引いたものです。差が最大になる で、曲線の接線の傾き は に等しく、図の接線は直線 と平行になる。
から で、通分すると になる。したがって です。
に代入すると 。 と ごとにまとめ、最大値は となります。
では で、最大値は に近づく。直線 と曲線の縦の差 も、 が大きくなると漸近線までの間隔 に近づくため、この極限と合っています。