以下の問いに答えよ。
(1) 実数 x を変数とする関数 f(x) が導関数 f'(x) および第 2 次導関数 f''(x) をもち，すべての x に対し f''(x) > 0 をみたすとする。さらに以下の極限値 a，b (a < b) が存在すると仮定する。
\displaystyle\lim_{x \to -\infty} f'(x) = a，\displaystyle\lim_{x \to \infty} f'(x) = b
このとき，a < c < b をみたす任意の実数 c に対し，関数 g(x) = cx-f(x) の値を最大にする x = x_0 がただひとつ存在することを示せ。
(2) 実数 x を変数とする関数 f(x) = \log\left(\dfrac{e^x+e^{-x}}{2}\right) はすべての x に対し f''(x) > 0 をみたすことを示せ。また，この f に対し小問(1)の極限値 a，b を求めよ。
(3) 小問(2)の関数 f および極限値 a，b を考える。a < c < b をみたす任意の実数 c に対し小問(1)の x_0 および g(x_0) を c を用いて表せ。
f'(x) は微分可能だから連続で、g'(x) = c-f'(x) も連続です。g''(x) = -f''(x) < 0 より g'(x) は減少し、x \to -\infty で c-a > 0 に、x \to \infty で c-b < 0 に近づく。
そのため g'(x_1) > 0、g'(x_2) < 0 となる x_1 < x_2 がとれ、中間値の定理から x_1 と x_2 のあいだに g'(x_0) = 0 となる x_0 がある。g'(x) は減少するため、0 になる点はこの x_0 のほかにありません。
x < x_0 では g'(x) > 0、x > x_0 では g'(x) < 0 で、g(x) は x_0 まで増加し、そのあと減少します。x \neq x_0 ならいつも g(x) < g(x_0) となり、g(x) を最大にする x は x_0 ただ 1 つ。
f(x) = \log\dfrac{e^x+e^{-x}}{2} を微分すると f'(x) = \dfrac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}} です。商の微分で分子は (e^x+e^{-x})^2-(e^x-e^{-x})^2 = 4 となり、すべての x で f''(x) = \dfrac{4}{(e^x+e^{-x})^2} > 0 が成り立つ。
f'(x) の分子と分母を e^x で割ると \dfrac{1-e^{-2x}}{1+e^{-2x}} で、x \to \infty のとき e^{-2x} \to 0 から b = 1。e^{-x} で割った \dfrac{e^{2x}-1}{e^{2x}+1} を使えば、x \to -\infty の極限 a = -1 が求められます。
x \to \infty で f(x)-(x-\log 2) = \log(1+e^{-2x}) \to 0 となるため、曲線 y = f(x) は直線 y = x-\log 2 を漸近線にもつ。左側の漸近線は y = -x-\log 2 で、接線の傾きが 1 と -1 に近づくようすが図で見えます。
-1 < c < 1 のとき、x_0 は g'(x_0) = c-f'(x_0) = 0 を満たす点です。f'(x) = \dfrac{e^{2x}-1}{e^{2x}+1} だから、\dfrac{e^{2x_0}-1}{e^{2x_0}+1} = c の両辺に e^{2x_0}+1 をかけて e^{2x_0}(1-c) = 1+c となり、x_0 = \dfrac{1}{2}\log\dfrac{1+c}{1-c}。
g(x) = cx-f(x) は、同じ x での直線 y = cx の高さから曲線 y = f(x) の高さを引いたものです。差が最大になる x_0 で、曲線の接線の傾き f'(x_0) は c に等しく、図の接線は直線 y = cx と平行になる。
e^{x_0} = \sqrt{\dfrac{1+c}{1-c}} から e^{x_0}+e^{-x_0} = \sqrt{\dfrac{1+c}{1-c}}+\sqrt{\dfrac{1-c}{1+c}} で、通分すると \dfrac{2}{\sqrt{1-c^2}} になる。したがって f(x_0) = \log\dfrac{1}{\sqrt{1-c^2}} = -\dfrac{1}{2}\log(1-c^2) です。
g(x_0) = cx_0-f(x_0) に代入すると \dfrac{c}{2}\{\log(1+c)-\log(1-c)\}+\dfrac{1}{2}\{\log(1+c)+\log(1-c)\}。\log(1+c) と \log(1-c) ごとにまとめ、最大値は g(x_0) = \dfrac{(1+c)\log(1+c)+(1-c)\log(1-c)}{2} となります。
c \to 1 では (1-c)\log(1-c) \to 0 で、最大値は \log 2 に近づく。直線 y = x と曲線の縦の差 x-f(x) も、x が大きくなると漸近線までの間隔 \log 2 に近づくため、この極限と合っています。