1階線形微分方程式

1階線形微分方程式は積分因子を用いて解く。標準形に変形することがポイントである。

問題1：基本形

$\frac{dy}{dx}+2y=e^{-x}$ を解け。

解答1

標準形 $y^{\prime }+p(x)y=q(x)$ で $p(x)=2$, $q(x)=e^{-x}$。

積分因子：$\mu (x)=e^{\int 2dx}=e^{2x}$

両辺に掛ける：$e^{2x}{y}^{\prime }+2e^{2x}y=e^x$

$(e^{2x}y{)}^{\prime }=e^x$

$e^{2x}y=e^x+C$

$y=e^{-x}+C{e}^{-2x}$

問題2：初期条件付き

$\frac{dy}{dx}-y=x$, $y(0)=1$ を解け。

解答2

積分因子：$\mu =e^{-x}$

$e^{-x}{y}^{\prime }-e^{-x}y=x{e}^{-x}$

$(e^{-x}y{)}^{\prime }=x{e}^{-x}$

$e^{-x}y=\int x{e}^{-x}dx=-x{e}^{-x}-e^{-x}+C$（部分積分）

$y=-x-1+C{e}^x$

$y(0)=1$ より $-1+C=1$, $C=2$。

$y=-x-1+2e^x$

問題3：変数係数

$\frac{dy}{dx}+\frac{y}{x}=x^2$（$x>0$）を解け。

解答3

積分因子：$\mu =e^{\int \frac{1}{x}dx}=e^{\ln x}=x$

$x{y}^{\prime }+y=x^3$

$(xy{)}^{\prime }=x^3$

$xy=\frac{x^4}{4}+C$

$y=\frac{x^3}{4}+\frac{C}{x}$

問題4：三角関数の係数

$\frac{dy}{dx}+y\tan x=\sec x$ を解け。

解答4

積分因子：$\mu =e^{\int \tan xdx}=e^{-\ln |\cos x|}=\frac{1}{\cos x}=\sec x$

$\sec x\cdot y^{\prime }+y\sec x\tan x={\sec }^{2}x$

$(y\sec x{)}^{\prime }={\sec }^{2}x$

$y\sec x=\tan x+C$

$y=\sin x+C\cos x$

問題5：Bernoulli方程式

$\frac{dy}{dx}+y=x{y}^2$ を解け。

解答5

Bernoulli方程式 $y^{\prime }+p(x)y=q(x)y^n$（$n=2$）。

$z=y^{1-n}=y^{-1}$ と置換。$z^{\prime }=-y^{-2}{y}^{\prime }$

両辺を $y^2$ で割る：$y^{-2}{y}^{\prime }+y^{-1}=x$

$-z^{\prime }+z=x$, すなわち $z^{\prime }-z=-x$

積分因子：$\mu =e^{-x}$

$(e^{-x}z{)}^{\prime }=-x{e}^{-x}$

$e^{-x}z=x{e}^{-x}+e^{-x}+C$（部分積分）

$z=x+1+C{e}^x$

$y=\frac{1}{x+1+C{e}^x}$

問題6：電気回路（RL回路）

$L\frac{dI}{dt}+RI=V_0$, $I(0)=0$ を解け。

解答6

$\frac{dI}{dt}+\frac{R}{L}I=\frac{V_0}{L}$

積分因子：$\mu =e^{Rt/L}$

${\left(I{e}^{Rt/L}\right)}^{\prime }=\frac{V_0}{L}{e}^{Rt/L}$

$I{e}^{Rt/L}=\frac{V_0}{R}{e}^{Rt/L}+C$

$I=\frac{V_0}{R}+C{e}^{-Rt/L}$

$I(0)=0$ より $C=-\frac{V_0}{R}$。

$I=\frac{V_0}{R}\left(1-e^{-Rt/L}\right)$

問題7：厳密形への変形

$(2xy+3)dx+(x^2+4y)dy=0$ を解け。

解答7

$M=2xy+3$, $N=x^2+4y$

$\frac{\partial M}{\partial y}=2x$, $\frac{\partial N}{\partial x}=2x$

厳密形。$\frac{\partial F}{\partial x}=2xy+3$ より $F=x^{2}y+3x+g(y)$

$\frac{\partial F}{\partial y}=x^2+g^{\prime }(y)=x^2+4y$ より $g^{\prime }(y)=4y$, $g(y)=2y^2$

一般解：$x^{2}y+3x+2y^2=C$

問題8：積分因子が必要な場合

$(y+1)dx-xdy=0$ を解け。

解答8

$M=y+1$, $N=-x$

$\frac{\partial M}{\partial y}=1\ne -1=\frac{\partial N}{\partial x}$

$\frac{1}{N}\left(\frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x}\right)=\frac{1}{-x}(1-(-1))=-\frac{2}{x}$

これは $x$ のみの関数。積分因子：$\mu =e^{\int -\frac{2}{x}dx}=\frac{1}{x^2}$

$\frac{y+1}{x^2}dx-\frac{1}{x}dy=0$

厳密形になる。$F=-\frac{y+1}{x}+g(y)$, $g^{\prime }(y)=0$

一般解：$\frac{y+1}{x}=C$, すなわち $y=Cx-1$

問題9：混合問題

$x{y}^{\prime }-2y=x^3{e}^x$ を解け。

解答9

$y^{\prime }-\frac{2}{x}y=x^2{e}^x$

積分因子：$\mu =e^{-2\ln x}=\frac{1}{x^2}$

$\frac{y^{\prime }}{x^2}-\frac{2y}{x^3}=e^x$

${\left(\frac{y}{x^2}\right)}^{\prime }=e^x$

$\frac{y}{x^2}=e^x+C$

$y=x^2(e^x+C)$

問題10：定数変化法

$y^{\prime }+y=\sin x$ を定数変化法で解け。

解答10

同次方程式 $y^{\prime }+y=0$ の解：$y_h=C{e}^{-x}$

$y=u(x)e^{-x}$ とおく。$y^{\prime }=u^{\prime }{e}^{-x}-u{e}^{-x}$

代入：$u^{\prime }{e}^{-x}-u{e}^{-x}+u{e}^{-x}=\sin x$

$u^{\prime }=e^x\sin x$

$u=\int e^x\sin xdx=\frac{e^x(\sin x-\cos x)}{2}+C$

$y=\frac{\sin x-\cos x}{2}+C{e}^{-x}$