積分因子を掛けると左辺が微分の形にまとまる（1 階線形微分方程式）

$y^{\prime }+2y=e^{-x}$ の左辺は、そのままでは何かの微分に見えません。両辺に $e^{2x}$ を掛けると $(e^{2x}y{)}^{\prime }$ にまとまり、あとは両辺を積分するだけになります。

この掛ける関数を積分因子といいます。$y^{\prime }+p(x)y=q(x)$ の形なら、$\mu =e^{\int pdx}$ でいつでも作れます^[1]。

以下は $15$ 問です。基本形から始め、変数係数、ベルヌーイ形、完全形、定数変化法、リッカチ形まで並べました。

積分因子はどこから来るか

積の微分を逆に読みます。$(\mu y{)}^{\prime }=\mu y^{\prime }+{\mu }^{\prime }y$ です。

これが $\mu (y^{\prime }+py)$ に等しくなるには、${\mu }^{\prime }=p\mu$ が要ります。変数分離して解くと次の形です。

$$\mu (x)=e^{\int p(x)dx}$$

積分定数は要りません。$\mu$ を定数倍しても両辺に同じ倍率が掛かるので、答えが変わらないためです。

第 $1$ 段を飛ばすと誤ります。$y^{\prime }$ の係数が $1$ でない式に、そのまま積分因子を当てないようにします。

問題 1：基本形

$y^{\prime }+2y=e^{-x}$ を解け。

解答 1

$p=2$ なので $\mu =e^{2x}$ です。両辺に掛けます。

$$e^{2x}{y}^{\prime }+2e^{2x}y=e^x,(e^{2x}y{)}^{\prime }=e^x$$

積分して $e^{2x}y=e^x+C$ です。

$$y=e^{-x}+C{e}^{-2x}$$

第 $1$ 項が特殊解、第 $2$ 項が同次方程式の解です。この $2$ つの和になる。それが線形方程式の構造です^[1]。

問題 2：初期条件つき

$y^{\prime }-y=x$、$y(0)=1$ を解け。

解答 2

$p=-1$ で $\mu =e^{-x}$ です。

$$(e^{-x}y{)}^{\prime }=x{e}^{-x}$$

右辺を部分積分します。$\int x{e}^{-x}dx=-x{e}^{-x}-e^{-x}+C$ です。

$$y=-x-1+C{e}^x$$

$y(0)=1$ から $C=2$ で、解は $y=-x-1+2e^x$ になります。

問題 3：変数係数

$y^{\prime }+\frac{y}{x}=x^2$（$x>0$）を解け。

解答 3

$\mu =e^{\int dx/x}=e^{\ln x}=x$ です。

$$x{y}^{\prime }+y=x^3,(xy{)}^{\prime }=x^3$$

$$xy=\frac{x^4}{4}+C,y=\frac{x^3}{4}+\frac{C}{x}$$

$x=0$ で係数が定義されないので、解も原点をまたげません。係数の特異点が解の定義域を決めます。

問題 4：三角関数の係数

$y^{\prime }+y\tan x=\sec x$ を解け。

解答 4

$\int \tan xdx=-\ln |\cos x|$ なので、$\mu =\frac{1}{\cos x}=\sec x$ です。

$$(y\sec x{)}^{\prime }={\sec }^{2}x$$

$$y\sec x=\tan x+C,y=\sin x+C\cos x$$

$\cos x=0$ の点では $\tan x$ が定義されません。解が使えるのは、そのあいだの区間ごとです。

問題 5：ベルヌーイ形

$y^{\prime }+y=x{y}^2$ を解け。

解答 5

右辺に $y^2$ があるので線形ではありません。ベルヌーイ形です^[2]。

$n=2$ なので $z=y^{1-n}=y^{-1}$ と置きます。$z^{\prime }=-y^{-2}{y}^{\prime }$ です。

両辺を $y^2$ で割ります。

$$y^{-2}{y}^{\prime }+y^{-1}=x,-z^{\prime }+z=x$$

$z^{\prime }-z=-x$ という線形方程式になりました。$\mu =e^{-x}$ で解きます。

$$z=x+1+C{e}^x,y=\frac{1}{x+1+C{e}^x}$$

$y=0$ も解です。$y^2$ で割ったときに落ちているので、別に確かめます。

問題 6：RL 回路

$L\frac{dI}{dt}+RI=V_0$、$I(0)=0$ を解け。

解答 6

標準形に直します。$\frac{dI}{dt}+\frac{R}{L}I=\frac{V_0}{L}$ です。

$\mu =e^{Rt/L}$ を掛けます。

$${\left(I{e}^{Rt/L}\right)}^{\prime }=\frac{V_0}{L}{e}^{Rt/L}$$

$$I=\frac{V_0}{R}+C{e}^{-Rt/L}$$

$I(0)=0$ から $C=-\frac{V_0}{R}$ です。

$$I=\frac{V_0}{R}\left(1-e^{-Rt/L}\right)$$

$t\to \infty$ で $\frac{V_0}{R}$ に近づきます。時定数 $\frac{L}{R}$ で立ち上がる形です。

同次解の $C{e}^{-Rt/L}$ が時間とともに消え、特殊解の $\frac{V_0}{R}$ だけが残ります。過渡的な部分と定常的な部分に分かれる、と読めます。

問題 7：完全形

$(2xy+3)dx+(x^2+4y)dy=0$ を解け。

解答 7

$M=2xy+3$、$N=x^2+4y$ です。判定式を見ます。

$$\frac{\partial M}{\partial y}=2x=\frac{\partial N}{\partial x}$$

一致するので完全形です。$F$ を積み上げます。

$\frac{\partial F}{\partial x}=M$ から $F=x^{2}y+3x+g(y)$ です。$y$ で微分して $N$ と比べます。

$$x^2+g^{\prime }(y)=x^2+4y,g(y)=2y^2$$

一般解は $x^{2}y+3x+2y^2=C$ です。線積分でポテンシャルを求めるのと同じ手順になります。

問題 8：積分因子で完全形にする

$(y+1)dx-xdy=0$ を解け。

解答 8

$\frac{\partial M}{\partial y}=1$、$\frac{\partial N}{\partial x}=-1$ で一致しません。

差を $N$ で割ると $x$ だけの式になります。

$$\frac{1}{N}\left(\frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x}\right)=\frac{2}{-x}=-\frac{2}{x}$$

$x$ だけの式なら、$\mu =e^{\int (-2/x)dx}=\frac{1}{x^2}$ が積分因子になります。

掛けると完全形です。$F=-\frac{y+1}{x}$ で、一般解は $y=Cx-1$ になります。

積分因子が $x$ だけ、あるいは $y$ だけの式になるかを見る。それがこの型の判定です。

問題 9：係数を整える

$x{y}^{\prime }-2y=x^3{e}^x$ を解け。

解答 9

$y^{\prime }$ の係数が $x$ なので、まず割って標準形にします。

$$y^{\prime }-\frac{2}{x}y=x^2{e}^x$$

$\mu =e^{-2\ln x}=\frac{1}{x^2}$ です。

$${\left(\frac{y}{x^2}\right)}^{\prime }=e^x,y=x^2(e^x+C)$$

割らずに $\mu =e^{\int (-2)dx}=e^{-2x}$ としてしまう誤りが多いところです。標準形に直してから $p$ を読みます。

問題 10：定数変化法

$y^{\prime }+y=\sin x$ を定数変化法で解け。

解答 10

同次方程式 $y^{\prime }+y=0$ の解は $y=C{e}^{-x}$ です。

定数 $C$ を関数 $u(x)$ に置きかえます^[1]。$y=u{e}^{-x}$ とすると $y^{\prime }=u^{\prime }{e}^{-x}-u{e}^{-x}$ です。

代入すると $u$ の項が消えます。

$$u^{\prime }{e}^{-x}=\sin x,u^{\prime }=e^x\sin x$$

右辺は循環型の部分積分で出ます。

$$u=\frac{e^x(\sin x-\cos x)}{2}+C$$

$$y=\frac{\sin x-\cos x}{2}+C{e}^{-x}$$

積分因子と同じ答えです。$u$ の項が消えるのは、$e^{-x}$ が同次解だからです。

問題 11：リッカチ形

$y^{\prime }=y^2-\frac{2}{x^2}$ について、$y_1=\frac{1}{x}$ が解であることを確かめ、一般解を求めよ。

解答 11

代入して確かめます。$y_1^{\prime }=-\frac{1}{x^2}$ で、右辺は $\frac{1}{x^2}-\frac{2}{x^2}=-\frac{1}{x^2}$ です。合っています。

$y=y_1+\frac{1}{v}$ と置きます。特殊解が $1$ つ分かれば、リッカチ形は線形に落ちます。

計算すると次の線形方程式になります。

$$v^{\prime }+\frac{2}{x}v=-1$$

$\mu =x^2$ で解いて $v=-\frac{x}{3}+\frac{C}{x^2}$ です。

$$y=\frac{1}{x}+\frac{1}{-\frac{x}{3}+\frac{C}{x^2}}$$

$1$ つ解を見つけるところは手探りになります。見つかったあとは線形の手順です。

問題 12：解の構造

線形方程式の一般解が、同次解と特殊解の和になることを示せ。

解答 12

$y_1$ と $y_2$ をどちらも $y^{\prime }+py=q$ の解とします。差をとります。

$$(y_1-y_2{)}^{\prime }+p(y_1-y_2)=q-q=0$$

差は同次方程式の解です。同次解は $C{e}^{-\int p}$ の $1$ 次元ぶんしかありません。

したがって、特殊解を $1$ つ見つければ、あとは同次解を足すだけで全部の解が書けます^[1]。

問題 $1$ の $y=e^{-x}+C{e}^{-2x}$ がその形です。$2$ 項の役割が分かれています。

問題 13：存在と一意性

$p$ と $q$ が区間 $I$ で連続なら、初期値問題の解が $I$ 全体で存在することを示せ。

解答 13

積分因子による式が、そのまま解の表示になります。

$$y=e^{-\int p}\left(\int q{e}^{\int p}dx+C\right)$$

$p$ と $q$ が $I$ で連続なら、積分はすべて $I$ 全体で定義されます。よって解も $I$ 全体で存在する。

一意性も出ます。$2$ つの解の差が同次方程式を満たし、初期値が $0$ なら $C=0$ になるからです。

線形でない場合と対比すると違いがはっきりします。$y^{\prime }=y^2$ の解は有限の $x$ で発散し、大域的には存在しません。

問題 14：線形かどうかの見分け

次のうち $1$ 階線形はどれか。$y^{\prime }+xy=x$、$y^{\prime }+y^2=x$、$y{y}^{\prime }=x$、$y^{\prime }=\sin y$。

解答 14

線形とは、$y$ と $y^{\prime }$ について $1$ 次であることです。係数が $x$ の関数であるぶんには問題ありません。

$y^{\prime }+xy=x$ は線形です。$x$ が掛かっていても $y$ の $1$ 次だからです。

$y^{\prime }+y^2=x$ は $y^2$ があるので非線形。ベルヌーイ形にも当てはまりません。

$y{y}^{\prime }=x$ は $y$ と $y^{\prime }$ の積があるので非線形です。変数分離で解けます。

$y^{\prime }=\sin y$ も非線形で、こちらも変数分離です。

判定は $y$ の入り方だけを見ます。$x$ がどう入っていても線形性には関係しません。

問題 15：積分因子を定数倍しても同じ

問題 $1$ で $\mu =3e^{2x}$ を使うと答えが変わるか。

解答 15

両辺に $3e^{2x}$ を掛けます。

$$(3e^{2x}y{)}^{\prime }=3e^x,3e^{2x}y=3e^x+C^{\prime }$$

両辺を $3$ で割ると、$C=\frac{C^{\prime }}{3}$ と置きかえた同じ式になります。

積分因子の定数倍は答えに効きません。$\mu$ を求めるとき積分定数を書かなくてよいのは、この理由です。

同じことで、$\mu$ の符号を逆にとっても結果は変わりません。$\int pdx$ の定数の選び方も自由です。

つまずきやすいところ

標準形への直しと、落ちる解で誤ります。

$y$ の入り方で型を決め、標準形に直してから積分因子を作る。順序を守れば計算は $1$ 本道です。

よくある誤り

型を見分けたら、あとは積分因子を作って掛けるだけ。ベルヌーイもリッカチも、線形に落としてから同じ手順に乗せます。

参考文献

^[1] が $1$ 階線形方程式・積分因子・解の構造・定数変化法・存在と一意性、^[2] がベルヌーイ方程式と置きかえ、^[3] が完全形と積分因子、^[4] がリッカチ方程式、^[5] がドイツ語での定式化です。