変数分離形の微分方程式では割った瞬間に解が 1 つ消える

$\frac{dy}{dx}=xy$ を解くには、$y$ で割って両辺を積分します。ところが $y=0$ もこの方程式を満たす解で、割った瞬間に消えている。

一般解 $y=C{e}^{x^2/2}$ で $C=0$ とすれば拾えます。いつでも拾えるとはかぎらない点が、この解法の落とし穴です^[1]。

以下は $15$ 問です。基本形から始め、初期条件、応用のモデル、直交曲線族を扱い、最後に割り算で消える解と、解が有限の時刻で発散する例まで並べました。

手順と、その根拠

$\frac{dy}{dx}=g(x)h(y)$ の形なら変数分離ができます^[1]。

$$\frac{dy}{h(y)}=g(x)dx$$

$\frac{dy}{dx}$ を分数のように動かしていますが、根拠は置換積分です。両辺を $x$ で積分すると、左辺が $\int \frac{1}{h(y)}\frac{dy}{dx}dx=\int \frac{dy}{h(y)}$ になる。

割るときに $h(y)\ne 0$ を仮定しています。$h(y)=0$ となる定数解は、あとで別に確かめます。

問題 1：基本形

$\frac{dy}{dx}=xy$ を解け。

解答 1

$y$ で割って積分します。

$$\frac{dy}{y}=xdx,\ln |y|=\frac{x^2}{2}+C_1$$

指数に戻すと $|y|=e^{C_1}{e}^{x^2/2}$ です。絶対値を外して符号を定数に吸収します。

$$y=C{e}^{x^2/2}$$

$C=0$ が $y=0$ にあたり、割って消した解もここに入っています。$C$ の範囲を実数全体にとるのは、そのためです。

問題 2：初期条件をつける

$\frac{dy}{dx}=\frac{y}{x}$、$y(1)=2$ を解け。

解答 2

$\frac{dy}{y}=\frac{dx}{x}$ から $\ln |y|=\ln |x|+C_1$、つまり $y=Cx$ です。

$y(1)=2$ から $C=2$ で、解は $y=2x$ になります。

原点は $x=0$ で方程式が定義されないので、解が通れません。$x>0$ の側だけで考えます。

問題 3：三角関数

$\frac{dy}{dx}=\frac{\cos x}{\sin y}$ を解け。

解答 3

$\sin ydy=\cos xdx$ と分けて積分します。

$$-\cos y=\sin x+C$$

$\cos y+\sin x=C^{\prime }$ が答えです。$y$ について解けないので、陰関数の形のまま置きます。

$\sin y=0$ の点では、もとの方程式で分母が消えます。解曲線がそこで垂直になる点です。

問題 4：指数を分ける

$\frac{dy}{dx}=e^{x+y}$ を解け。

解答 4

指数法則で積に分けます。$e^{x+y}=e^x{e}^y$ なので、変数分離できる形です。

$$e^{-y}dy=e^{x}dx,-e^{-y}=e^x+C$$

$$y=-\ln (C^{\prime }-e^x)$$

対数の中が正である範囲でしか定義されません。$x$ が $\ln C^{\prime }$ に近づくと $y$ が発散します。

問題 5：逆正接が出る

$\frac{dy}{dx}=\frac{1+y^2}{1+x^2}$ を解け。

解答 5

両辺とも逆正接の微分の形です。

$$\arctan y=\arctan x+C$$

正接の加法定理で $y$ について解きます。$A=\tan C$ と置く。

$$y=\frac{x+A}{1-Ax}$$

一次分数変換の形になりました。$C=\frac{\pi }{2}$ にあたる場合は $y=-\frac{1}{x}$ で、この形からは出ません。

問題 6：同次形を変数分離に直す

$\frac{dy}{dx}=\frac{x+y}{x}$ を解け。

解答 6

右辺は $1+\frac{y}{x}$ で、$\frac{y}{x}$ だけの式です。$v=\frac{y}{x}$ と置きます。

$y=vx$ から $\frac{dy}{dx}=v+x\frac{dv}{dx}$ です。代入すると $v$ が消えます。

$$v+x\frac{dv}{dx}=1+v,\frac{dv}{dx}=\frac{1}{x}$$

$v=\ln |x|+C$ なので、$y=x(\ln |x|+C)$ です。

そのままでは分離できない形も、置きかえで分離できることがあります。$\frac{y}{x}$ だけの式かどうかが目印です。

問題 7：ロジスティック方程式

$\frac{dP}{dt}=rP\left(1-\frac{P}{K}\right)$ を解け。

解答 7

左辺を部分分数に分けます。$\frac{1}{P(1-P/K)}=\frac{1}{P}+\frac{1}{K-P}$ です。

$$\ln |P|-\ln |K-P|=rt+C_1$$

指数に戻して $P$ について解きます。

$$P=\frac{K}{1+B{e}^{-rt}}$$

$t\to \infty$ で $P\to K$ です。$K$ が上限で、環境収容力と呼ばれます。

$P=0$ と $P=K$ は定数解で、割ったときに消えています。$P=K$ は $B=0$ で拾えますが、$P=0$ はこの形からは出ません。

問題 8：放射性崩壊と半減期

$\frac{dN}{dt}=-\lambda N$、$N(0)=N_0$ を解き、半減期を $\lambda$ で表せ。

解答 8

$\frac{dN}{N}=-\lambda dt$ から $N=N_0{e}^{-\lambda t}$ です。

半減期 $T$ は $N(T)=\frac{N_0}{2}$ で決まります。

$$\frac{1}{2}=e^{-\lambda T},T=\frac{\ln 2}{\lambda }$$

初期量 $N_0$ が消えている点が要です。どれだけあっても半分になるまでの時間は同じになります。

問題 9：ニュートンの冷却法則

$\frac{dT}{dt}=-k(T-T_a)$、$T(0)=T_0$ を解け。

解答 9

$u=T-T_a$ と置くと $\frac{du}{dt}=-ku$ で、問題 $8$ と同じ形になります。

$$T=T_a+(T_0-T_a)e^{-kt}$$

$t\to \infty$ で $T\to T_a$ です。周囲の温度に近づいていきます。

$T=T_a$ は定数解で、割ったときに消えました。すでに周囲と同じ温度なら変化しない、という状況にあたります。

問題 10：直交曲線族

$y^2=cx$ に直交する曲線族を求めよ。

解答 10

まず $c$ を消して、族全体の傾きを $x$ と $y$ の式で書きます。

微分して $2y\frac{dy}{dx}=c$、もとの式から $c=\frac{y^2}{x}$ です。

$$\frac{dy}{dx}=\frac{y}{2x}$$

直交する曲線の傾きは、負の逆数です。

$$\frac{dy}{dx}=-\frac{2x}{y},ydy=-2xdx$$

積分して $\frac{y^2}{2}=-x^2+C$、つまり $x^2+\frac{y^2}{2}=C$ です。楕円の族になります。

もとが放物線の族で、直交する側は楕円の族。等ポテンシャル線と電気力線のような関係です。

問題 11：解が有限の時刻で発散する

$\frac{dy}{dx}=y^2$、$y(0)=1$ を解き、定義域を述べよ。

解答 11

$\frac{dy}{y^2}=dx$ から $-\frac{1}{y}=x+C$ です。

$y(0)=1$ から $C=-1$ となり、次の形になります。

$$y=\frac{1}{1-x}$$

$x\to 1$ で発散します。方程式の係数はどこでもなめらかなのに、解は $x=1$ より先へ延びません。

初期値問題の解が存在するのは局所的だけ、という事実がこの例に出ています。線形でない方程式では珍しくない現象です。

問題 12：割り算で消える解が拾えない

$\frac{dy}{dx}=y^{2/3}$、$y(0)=0$ を解け。

解答 12

分離して積分します。

$$y^{-2/3}dy=dx,3y^{1/3}=x+C$$

$y(0)=0$ から $C=0$ で、$y={\left(\frac{x}{3}\right)}^3$ です。

ところが $y\equiv 0$ も同じ初期条件を満たします。代入すると $0=0^{2/3}=0$ で成り立つ。

同じ初期値から $2$ つの解が出ました。一意性が崩れています。

$h(y)=y^{2/3}$ が $y=0$ で微分できないことが原因です。リプシッツ条件が満たされないので、一意性の定理が使えません^[2]。

問題 13：解の伸びる範囲が限られる

$\frac{dy}{dx}=\sqrt{1-y^2}$、$y(0)=0$ を解け。

解答 13

分離すると $\arcsin y=x+C$ で、$C=0$ から $y=\sin x$ です。

ただし有効なのは $-\frac{\pi }{2}\le x\le \frac{\pi }{2}$ に限られます。この外では $\sin x$ が減りはじめ、$\sqrt{1-y^2}\ge 0$ と合わなくなる。

$x>\frac{\pi }{2}$ では $y\equiv 1$ が解です。$y=\sin x$ を $\frac{\pi }{2}$ で打ち切り、そこから定数解に乗り移る解もつくれます。

ここでも一意性が崩れています。$\sqrt{1-y^2}$ が $y=\pm 1$ で微分できないためです。

問題 14：陰関数のままで止める

$\frac{dy}{dx}=\frac{x}{y+e^y}$ を解け。

解答 14

分離して積分します。

$$(y+e^y)dy=xdx,\frac{y^2}{2}+e^y=\frac{x^2}{2}+C$$

$y$ について解けません。陰関数の形が答えです。

ここは無理に解こうとせず、この形で止めます。初期条件があれば $C$ は決まるので、必要な情報は揃っています。

問題 15：分離できるかを見分ける

$\frac{dy}{dx}=x+y$ が変数分離形かどうか判定せよ。

解答 15

$x+y$ は $g(x)h(y)$ の形に書けません。和は積に分けられないので、分離できない。

$e^{x+y}=e^x{e}^y$ とは事情が違います。指数のときは積になりましたが、こちらは和のままです。

この方程式は $1$ 階線形なので、積分因子 $e^{-x}$ を掛けて解きます。分離できないと分かった時点で、別の型を探すことになる。

見分ける手順は $2$ 段です。右辺が $x$ だけの式と $y$ だけの式の積になるか、ならなければ置きかえで積になるか。

つまずきやすいところ

計算より、割る操作の周りで誤ります。

割る前にどんな解が消えるかを見ておく。この一手間で、一意性が崩れる場合にも気づけます。

よくある誤り

分離して積分する。手順はそれだけで、注意はすべて割り算の前後に集まっています。

参考文献

^[1] が変数分離の手順と置換積分による根拠、割り算で特異解が失われること、^[2] が解の存在と一意性およびリプシッツ条件、^[3] がドイツ語での記述、^[4] がロジスティック方程式、^[5] が直交曲線族です。