変数分離形微分方程式

変数分離形は最も基本的な微分方程式の型であり、両辺を積分することで解ける。

問題1：基本形

$\frac{d y}{d x} = x y$ を解け。

解答1

変数分離： $\frac{d y}{y} = x d x$

両辺を積分： $ln ∣ y ∣ = \frac{x ^{2}}{2} + C_{1}$

$y = C e^{x^{2} /2}$ （ $C = \pm e^{C_{1}}$ または $C = 0$ ）

一般解： $y = C e^{x^{2} /2}$

問題2：初期条件付き

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x}$ , $y (1) = 2$ を解け。

解答2

$\frac{d y}{y} = \frac{d x}{x}$

$ln ∣ y ∣ = ln ∣ x ∣ + C_{1}$

$y = C x$

初期条件 $y (1) = 2$ より $C = 2$ 。

解： $y = 2 x$

問題3：三角関数を含む

$\frac{d y}{d x} = \frac{c o s x}{s i n y}$ を解け。

解答3

$sin y d y = cos x d x$

$- cos y = sin x + C$

$cos y = - sin x + C^{'}$

陰関数解： $cos y + sin x = C$

問題4：指数関数を含む

$\frac{d y}{d x} = e^{x + y}$ を解け。

解答4

$e^{x + y} = e^{x} e^{y}$ より $\frac{d y}{d x} = e^{x} e^{y}$

$e^{- y} d y = e^{x} d x$

$- e^{- y} = e^{x} + C$

$e^{- y} = - e^{x} + C^{'}$

$y = - ln (C^{'} - e^{x}) = - ln (C - e^{x})$

問題5：有理関数

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 + y ^{2}}{1 + x ^{2}}$ を解け。

解答5

$\frac{d y}{1 + y ^{2}} = \frac{d x}{1 + x ^{2}}$

$arctan y = arctan x + C$

$y = tan (arctan x + C)$

加法定理を使うと $y = \frac{x + t a n C}{1 - x t a n C} = \frac{x + A}{1 - A x}$ （ $A = tan C$ ）

問題6：人口モデル（ロジスティック方程式）

$\frac{d P}{d t} = r P (1 - \frac{P}{K})$ を解け。

解答6

$\frac{d P}{P ( 1 - P / K )} = r d t$

部分分数分解： $\frac{1}{P ( 1 - P / K )} = \frac{1}{P} + \frac{1/ K}{1 - P / K}$

$ln ∣ P ∣ - ln ∣1 - P / K ∣ = r t + C_{1}$

$ln \frac{P}{1 - P / K} = r t + C_{1}$

$\frac{P}{K - P} = A e^{r t}$

$P = \frac{K A e ^{r t}}{1 + A e ^{r t}} = \frac{K}{1 + B e ^{- r t}}$

問題7： $y$ について解けない場合

$\frac{d y}{d x} = 1 - y^{2}$ , $y (0) = 0$ を解け。

解答7

$\frac{d y}{1 - y ^{2}} = d x$

$arcsin y = x + C$

$y (0) = 0$ より $C = 0$ 。

$y = sin x$

ただし $∣ y ∣ \leq 1$ の範囲で有効。

問題8：放射性崩壊

$\frac{d N}{d t} = - λ N$ , $N (0) = N_{0}$ を解け。半減期 $T_{1/2}$ を $λ$ で表せ。

解答8

$\frac{d N}{N} = - λ d t$

$ln N = - λ t + C$

$N = N_{0} e^{- λ t}$

半減期： $\frac{N _{0}}{2} = N_{0} e^{- λ T_{1/2}}$

$\frac{1}{2} = e^{- λ T_{1/2}}$

$T_{1/2} = \frac{l n 2}{λ}$

問題9：ニュートンの冷却法則

$\frac{d T}{d t} = - k (T - T_{a})$ , $T (0) = T_{0}$ を解け（ $T_{a}$ は周囲温度）。

解答9

$u = T - T_{a}$ とおくと $\frac{d u}{d t} = - k u$

$u = C e^{- k t}$

$T - T_{a} = (T_{0} - T_{a}) e^{- k t}$

$T = T_{a} + (T_{0} - T_{a}) e^{- k t}$

$t \to \infty$ で $T \to T_{a}$ 。

問題10：直交曲線族

$y^{2} = c x$ の直交曲線族を求めよ。

解答10

$y^{2} = c x$ を微分： $2 y \frac{d y}{d x} = c$

$c$ を消去： $c = \frac{y ^{2}}{x}$ より $2 y \frac{d y}{d x} = \frac{y ^{2}}{x}$ , $\frac{d y}{d x} = \frac{y}{2 x}$

直交曲線は傾きが負の逆数： $\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x}{y}$

$y d y = - 2 x d x$

$\frac{y ^{2}}{2} = - x^{2} + C$

$x^{2} + \frac{y ^{2}}{2} = C$ （楕円族）