中間値の定理の応用

中間値の定理は連続関数の基本的な性質であり、方程式の解の存在証明や近似解法に応用される。

問題1：解の存在

$x^{3} - x - 1 = 0$ が $(1, 2)$ に解を持つことを示せ。

解答1

$f (x) = x^{3} - x - 1$ とおく。 $f$ は連続。

$f (1) = 1 - 1 - 1 = - 1 < 0$
$f (2) = 8 - 2 - 1 = 5 > 0$

中間値の定理より、ある $c \in (1, 2)$ で $f (c) = 0$ 。

問題2：解の個数

$e^{x} = 2 x + 1$ の正の解の個数を調べよ。

解答2

$f (x) = e^{x} - 2 x - 1$ とおく。

$f (0) = 1 - 0 - 1 = 0$ （ $x = 0$ は解）

$f^{'} (x) = e^{x} - 2$ , $f^{'} (x) = 0$ で $x = ln 2$

$x < ln 2$ で $f^{'} < 0$ （減少）、 $x > ln 2$ で $f^{'} > 0$ （増加）

$f (ln 2) = 2 - 2 ln 2 - 1 = 1 - 2 ln 2 < 0$ （ $ln 2 \approx 0.69$ ）

$f (2) = e^{2} - 5 > 0$

$x = 0$ と、 $(ln 2, 2)$ に1つ、計2つの解。

問題3：不動点定理

$f : [0, 1] \to [0, 1]$ が連続ならば、 $f (c) = c$ となる $c \in [0, 1]$ が存在することを示せ。

解答3

$g (x) = f (x) - x$ とおく。 $g$ は連続。

$g (0) = f (0) - 0 = f (0) \geq 0$
$g (1) = f (1) - 1 \leq 0$

$g (0) = 0$ なら $c = 0$ 。 $g (1) = 0$ なら $c = 1$ 。

$g (0) > 0$ かつ $g (1) < 0$ なら、中間値の定理から $g (c) = 0$ となる $c \in (0, 1)$ が存在。

問題4：二分法

$x^{3} = 2$ の解を二分法で小数第2位まで求めよ。

解答4

$f (x) = x^{3} - 2$ 。 $f (1) = - 1 < 0$ , $f (2) = 6 > 0$ 。解は $(1, 2)$ 。

$f (1.5) = 3.375 - 2 = 1.375 > 0$ 。解は $(1, 1.5)$ 。
$f (1.25) = 1.953... - 2 < 0$ 。解は $(1.25, 1.5)$ 。
$f (1.375) = 2.599... - 2 > 0$ 。解は $(1.25, 1.375)$ 。
$f (1.3125) = 2.260... - 2 > 0$ 。解は $(1.25, 1.3125)$ 。

$32 \approx 1.26$

問題5：超越方程式

$cos x = x$ が $(0, 1)$ に唯一の解を持つことを示せ。

解答5

$f (x) = cos x - x$ とおく。

$f (0) = 1 > 0$ , $f (1) = cos 1 - 1 \approx - 0.46 < 0$

中間値の定理から解が存在。

$f^{'} (x) = - sin x - 1 < 0$ （すべての $x$ で）より $f$ は狭義単調減少。

したがって解は唯一。

問題6：連続関数の値域

$f : [a, b] \to R$ が連続ならば $f ([a, b])$ は閉区間であることを示せ。

解答6

最大値・最小値の定理から、 $f$ は最大値 $M$ と最小値 $m$ を持つ。

$f ([a, b]) \subset [m, M]$ 。

任意の $y \in [m, M]$ に対して、 $f (c_{1}) = m$ , $f (c_{2}) = M$ なる $c_{1}, c_{2}$ が存在。

中間値の定理から、 $c_{1}$ と $c_{2}$ の間に $f (c) = y$ となる $c$ が存在。

よって $f ([a, b]) = [m, M]$ 。

問題7： $n$ 乗根の存在

任意の $a > 0$ と正整数 $n$ に対して、 $x^{n} = a$ となる正の $x$ が存在することを示せ。

解答7

$f (x) = x^{n}$ は $[0, \infty)$ で連続かつ狭義単調増加。

$f (0) = 0$ , $lim_{x \to \infty} f (x) = \infty$

$a > 0$ に対して、十分大きな $b$ で $f (b) > a$ 。

中間値の定理から $f (c) = a$ となる $c \in (0, b)$ が存在。

問題8：多項式の次数と実根

奇数次の実係数多項式は少なくとも1つの実根を持つことを示せ。

解答8

$p (x) = a_{n} x^{n} + \dots + a_{0}$ （ $n$ は奇数、 $a_{n} \neq = 0$ ）

$a_{n} > 0$ のとき： $lim_{x \to \infty} p (x) = \infty$ , $lim_{x \to - \infty} p (x) = - \infty$

十分大きな $M$ で $p (M) > 0$ , $p (- M) < 0$ 。

中間値の定理から $(- M, M)$ に根が存在。

問題9：Darboux の定理

$f$ が $[a, b]$ で微分可能ならば $f^{'}$ は中間値の性質を持つことを示せ。

解答9

$f^{'} (a) < k < f^{'} (b)$ とする（ $f^{'} (a) > f^{'} (b)$ の場合も同様）。

$g (x) = f (x) - k x$ とおくと、 $g^{'} (a) = f^{'} (a) - k < 0$ , $g^{'} (b) = f^{'} (b) - k > 0$ 。

$g$ は連続で $[a, b]$ は閉区間なので最小値を持つ。

$g^{'} (a) < 0$ より最小点は $a$ でない。 $g^{'} (b) > 0$ より最小点は $b$ でない。

最小点 $c \in (a, b)$ で $g^{'} (c) = 0$ 、すなわち $f^{'} (c) = k$ 。

問題10：応用問題

正午に $A$ 地点から $B$ 地点へ歩き、翌日の正午に $B$ から $A$ へ同じ道を歩く。途中で同じ時刻に同じ場所を通ることを示せ。

解答10

1日目の位置を $f (t)$ 、2日目の位置を $g (t)$ （ $t$ は正午からの時間）とする。

$h (t) = f (t) - g (t)$ とおく。

$h (0) = f (0) - g (0) = A - B < 0$ （ $A$ を $0$ 、 $B$ を正とする座標で）
$h (T) = f (T) - g (T) = B - A > 0$ （ $T$ は歩行時間）

中間値の定理から $h (c) = 0$ 、すなわち $f (c) = g (c)$ となる $c$ が存在。