符号が変われば途中に解がある - 中間値の定理の応用

$x^3-x-1=0$ の解を式で書くと、カルダノの公式から入れ子の立方根が出てきます。ところが「$1$ と $2$ のあいだにある」ことだけなら、$2$ 回の代入で分かる。

$f(1)=-1$、$f(2)=5$ で符号が変わっています。連続な関数が負から正へ移るなら、途中で $0$ を通る^[1]。

中間値の定理が言うのはこれだけです。解の位置も個数も教えてくれませんが、存在だけは代入 $2$ 回で決まります。

主張と、効いている仮定

$f$ が閉区間 $[a,b]$ で連続とし、$u$ が $f(a)$ と $f(b)$ のあいだにあるとします^[1]。

このとき $f(c)=u$ となる $c$ が開区間 $(a,b)$ に存在します。$u=0$ とした形が、符号の変化から解を出す使い方です。

効いているのは実数の完備性です。有理数の範囲では成り立ちません。$f(x)=x^2$ は $f(0)=0$、$f(2)=4$ ですが、$f(x)=2$ となる有理数はない^[1]。

$\sqrt{2}$ が有理数でないので、そこに穴が空いています。実数では穴が埋まっているため、通り抜けられません。

問題 1：解の存在

$x^3-x-1=0$ が $(1,2)$ に解を持つことを示せ。

解答 1

$f(x)=x^3-x-1$ は多項式なので、実数全体で連続です。

$f(1)=1-1-1=-1$、$f(2)=8-2-1=5$ で符号が変わります。

中間値の定理より、$f(c)=0$ となる $c$ が $(1,2)$ に存在します。実際の値は $1.32472$ あたりです。

$f^{\prime }(x)=3x^2-1$ が $x>1$ で正なので、この区間では狭義単調増加。解はただ $1$ つになります。

問題 2：解の個数を数える

$e^x=2x+1$ の実数解の個数を調べよ。

解答 2

$f(x)=e^x-2x-1$ と置きます。$f(0)=0$ なので $x=0$ は解です。

$f^{\prime }(x)=e^x-2$ が $0$ になるのは $x=\ln 2$ で、そこが最小点になります。

$f(\ln 2)=2-2\ln 2-1=1-2\ln 2\approx -0.386$ で負です。

最小値が負で、両側で $f\to \infty$ なので、解はちょうど $2$ つ。$x=0$ と、$(\ln 2,2)$ にあるもう $1$ つです。後者は $1.25643$ あたりになります。

存在は中間値の定理、個数は単調性。この $2$ つを組み合わせる形が定石です。

問題 3：不動点の存在

$f:[0,1]\to [0,1]$ が連続なら、$f(c)=c$ となる $c$ が存在することを示せ。

解答 3

差を関数にします。$g(x)=f(x)-x$ と置くと、$g$ も連続です。

$f$ の値域が $[0,1]$ なので、$g(0)=f(0)\ge 0$、$g(1)=f(1)-1\le 0$ になります。

等号が成り立つ場合は端点がそのまま不動点です。どちらも真の不等号なら、中間値の定理から $g(c)=0$ となる $c$ が内部にとれます。

$1$ 次元のブラウワーの不動点定理にあたる主張です^[1]。高い次元では位相の道具が要りますが、$1$ 次元では中間値の定理で足ります。

問題 4：二分法で近似する

$x^3=2$ の解を二分法で $6$ 回追い、小数第 $2$ 位まで求めよ。

解答 4

$f(x)=x^3-2$ で、$f(1)=-1$、$f(2)=6$ です。解は $(1,2)$ にあります。

中点で符号を見て、解を含む側へ区間を狭めていきます。

$6$ 回で区間の幅が $\frac{1}{64}$ になりました。$\sqrt[3]{2}=1.25992$ で、小数第 $2$ 位まで合っています。

問題 5：二分法の誤差

区間 $[1,2]$ から始めて、誤差を $10^{-6}$ 未満にするには何回必要か。

解答 5

$n$ 回のあとの区間の幅は $\frac{1}{2^n}$ です。中点を答えとすれば、誤差はその半分になります。

$$\frac{1}{2^{n+1}}<10^{-6}$$

$2^{20}\approx 1.05\times 10^6$ なので、$n=20$ で足ります。$1$ 回で ${\log }_{10}2\approx 0.30$ 桁ぶん進む計算です。

$3$ 回でおよそ $1$ 桁。遅い方法ですが、符号さえ見られれば必ず収束します。

問題 6：超越方程式の唯一解

$\cos x=x$ が $(0,1)$ にただ $1$ つの解を持つことを示せ。

解答 6

$f(x)=\cos x-x$ と置きます。$f(0)=1>0$、$f(1)=\cos 1-1\approx -0.46<0$ です。

中間値の定理から解が存在します。値は $0.73909$ あたり。

$f^{\prime }(x)=-\sin x-1$ は $[0,1]$ で負なので、$f$ は狭義単調減少です。したがって解はただ $1$ つになります。

存在と一意性を別々の道具で示す形です。前者が中間値の定理、後者が単調性になります。

問題 7：連続関数の像

$f:[a,b]\to \mathbb{R}$ が連続なら、像が閉区間になることを示せ。

解答 7

最大値・最小値の定理から、$f$ は最大値 $M$ と最小値 $m$ をとります。$f(c_1)=m$、$f(c_2)=M$ となる点が存在する。

像は $[m,M]$ に含まれます。逆向きを示します。

$y$ を $m$ と $M$ のあいだの任意の値とすると、$c_1$ と $c_2$ を端とする区間で中間値の定理が使えます。$f(c)=y$ となる $c$ が存在する。

よって像はちょうど $[m,M]$ です。連続な像が閉区間になる、という主張の証明にはこの $2$ つの定理が要ります。

問題 8：n 乗根の存在

$a>0$ と正の整数 $n$ に対して、$x^n=a$ となる正の $x$ が存在することを示せ。

解答 8

$f(x)=x^n$ は $[0,\infty )$ で連続です。$f(0)=0<a$ になります。

$b=\max (1,a)$ と置くと $b^n\ge b\ge a$ です。$f(b)\ge a$ となる点が具体的にとれました。

中間値の定理から $f(c)=a$ となる $c$ が $[0,b]$ に存在します。$f$ は狭義単調増加なので、そのような $c$ はただ $1$ つです。

平方根や立方根の存在は、こうして実数の完備性から出ます。定義してから性質を調べるのではなく、存在を示すところから始まる。

問題 9：奇数次の多項式

奇数次の実係数多項式は、少なくとも $1$ つ実根を持つことを示せ。

解答 9

$p(x)=a_n{x}^n+\cdots +a_0$ で $n$ は奇数、$a_n\ne 0$ とします。

$|x|$ が大きいところでは、最高次の項が符号を決めます。$a_n>0$ なら $x\to \infty$ で $p\to \infty$、$x\to -\infty$ で $p\to -\infty$ です。

$n$ が奇数なので、両端の符号が逆になります。十分大きい $M$ をとれば $p(-M)<0<p(M)$ となる。

中間値の定理から $(-M,M)$ に根が存在します。偶数次では両端の符号が同じになるので、この議論は通りません。

問題 10：ダルブーの定理

$f$ が $[a,b]$ で微分可能なら、$f^{\prime }$ が中間値の性質を持つことを示せ。

解答 10

$f^{\prime }(a)<k<f^{\prime }(b)$ とします。$g(x)=f(x)-kx$ と置くと、$g^{\prime }(a)<0$、$g^{\prime }(b)>0$ です。

$g$ は連続で $[a,b]$ は閉区間なので、最小値をとる点 $c$ があります。

$g^{\prime }(a)<0$ なので $a$ の右側で $g$ は減り、最小点は $a$ ではありません。$g^{\prime }(b)>0$ なので $b$ の左側で $g$ は増えており、最小点は $b$ でもない。

よって $c$ は内部にあり、そこで $g^{\prime }(c)=0$、つまり $f^{\prime }(c)=k$ です。

$f^{\prime }$ は連続とはかぎりません。それでも中間値の性質は持つ。これがこの定理の内容です。

問題 11：逆は成り立たない

中間値の性質を持つのに連続でない関数の例を挙げよ。

解答 11

$f(x)=\sin \frac{1}{x}$（$x\ne 0$）、$f(0)=0$ とします^[1]。

原点では左右から値が $-1$ と $1$ のあいだを何度も往復するので、極限がありません。連続ではない。

それでも中間値の性質は持ちます。原点を含むどんな区間でも、$f$ は $-1$ から $1$ までのすべての値を無限回とるからです。

こうした関数をダルブー関数といいます。中間値の性質は連続性より弱い条件です。

問題 12：散歩の問題

正午に $A$ を出て $B$ へ歩き、翌日の正午に $B$ を出て同じ道を $A$ へ歩く。ある時刻に、両日で同じ場所にいることを示せ。

解答 12

$1$ 日目の位置を $f(t)$、$2$ 日目の位置を $g(t)$ とします。$t$ は正午からの経過時間で、位置は $A$ を $0$、$B$ を $L$ とする座標です。

歩く時間が両日で違ってもかまいません。到着後はその場に留まると決めれば、共通の区間 $[0,T]$ で両方が連続になります。

差を $h(t)=f(t)-g(t)$ と置きます。$h(0)=0-L<0$、$h(T)=L-0>0$ です。

中間値の定理から $h(c)=0$ となる $c$ があります。その時刻に $2$ 日の位置が一致する。

$2$ 人が同時に歩いていると考えると分かりやすくなります。反対向きに同じ道を通れば、必ずすれ違う。

問題 13：赤道上の対蹠点

赤道上で、気温が等しい対蹠点の組が存在することを示せ。気温は連続に分布しているとする。

解答 13

赤道上の点を角度 $\theta$ で表し、気温を $T(\theta )$ とします。$T$ は連続で、周期 $2\pi$ を持つ。

差を $f(\theta )=T(\theta )-T(\theta +\pi )$ と置きます。$f$ も連続です。

$$f(\theta +\pi )=T(\theta +\pi )-T(\theta +2\pi )=-f(\theta )$$

$f(0)$ と $f(\pi )$ は符号が逆です。$f(0)=0$ ならそこで終わり。そうでなければ中間値の定理から、あいだに $f(c)=0$ となる点があります。

$T(c)=T(c+\pi )$ で、対蹠点の気温が等しくなりました。ボルツァーノ・ウラムの定理の $1$ 次元版にあたる議論です。

問題 14：面積を 2 等分する

平面上の有界な図形が与えられたとき、それを面積で $2$ 等分する垂直な直線が存在することを示せ。

解答 14

直線 $x=t$ の左にある部分の面積を $A(t)$ とします。図形は有界なので、十分小さい $t$ で $A(t)=0$、十分大きい $t$ で $A(t)=S$ です。$S$ は全体の面積になります。

$A$ は $t$ について連続です。$t$ を少し動かしたときの面積の変化が、細い帯の面積で押さえられるからです。

中間値の定理から $A(c)=\frac{S}{2}$ となる $c$ があります。$x=c$ がその直線です。

同じ議論は向きを変えても通ります。$2$ つの図形を同時に $2$ 等分する直線があるか、まで進むとハムサンドイッチの定理になり、道具が変わります。

問題 15：仮定を外すとどうなるか

$f(x)=\frac{1}{x}$ は $f(-1)=-1$、$f(1)=1$ だが $f(c)=0$ となる $c$ がない。矛盾しないのはなぜか。

解答 15

$f$ は $x=0$ で定義されていません。$[-1,1]$ の全体で連続ではないので、定理の仮定を満たしていない。

区間から $0$ を除くと、区間ではなくなります。連続であることと、定義域が切れ目のない区間であることの両方が要ります。

閉区間である必要もあります。開区間 $(0,1)$ で $f(x)=x$ を考えると、値の範囲は $(0,1)$ で端の値そのものはとりません。

仮定は $3$ つ。定義域が区間であること、閉じていること、そこで連続であること。どれを外しても結論が壊れます。

使いどころ

定理が答えるのは存在だけです。何を足すかで、分かることが変わります。

近似したいなら二分法へ進みます。符号を見るだけで区間が半分ずつ狭まり、$3$ 回でおよそ $1$ 桁の精度が得られます。

よくある誤り

代入 $2$ 回で符号の変化を見る。そこから先が要るときだけ、単調性や二分法を足していきます。

参考文献

^[1] が定理の主張・完備性が要る理由・ダルブー関数・二分法と不動点定理との関係・歴史、^[2] がドイツ語での定式化、^[3] が二分法の手順と誤差、^[4] がダルブーの定理、^[5] がフランス語での記述です。