一様連続性

一様連続性は連続性を強めた概念で、$\delta$ の取り方が点 $a$ によらないという性質です。

連続性の復習

$f$ が点 $a$ で連続であるとは

$$\forall \epsilon >0,\exists \delta >0,|x-a|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(a)|<\epsilon$$

が成り立つことです。ここで $\delta$ は $\epsilon$ と $a$ の両方に依存して決まります。

一様連続性の定義

$f$ が集合 $E$ 上で一様連続であるとは、次が成り立つことをいいます。

$$\forall \epsilon >0,\exists \delta >0,\forall x,y\in E,|x-y|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(y)|<\epsilon$$

連続性との違いは、$\delta$ が $\epsilon$ のみに依存し、点の選び方によらないことです。

一様連続と各点連続の違い

各点連続では、点ごとに $\delta$ を選べます。たとえば $a=1$ では $\delta =0.1$、$a=2$ では $\delta =0.01$ というように、場所によって $\delta$ が変わってもかまいません。

一様連続では、すべての点で同じ $\delta$ が使えなければなりません。

一様連続な関数の例

$f(x)=2x+3$ は $\mathbb{R}$ 上で一様連続です。

$$|f(x)-f(y)|=|2x-2y|=2|x-y|$$

$\delta =\epsilon /2$ とすれば、$|x-y|<\delta$ のとき $|f(x)-f(y)|<\epsilon$ となります。$\delta$ の選び方は $x,y$ によりません。

より一般に、リプシッツ連続な関数（$|f(x)-f(y)|\le L|x-y|$ を満たす）は一様連続です。

一様連続でない関数の例

$f(x)=x^2$ は $\mathbb{R}$ 上で一様連続ではありません。

$|f(x)-f(y)|=|x^2-y^2|=|x+y||x-y|$ なので、$|x+y|$ が大きいと、$|x-y|$ が小さくても $|f(x)-f(y)|$ は大きくなります。

具体的に、$x=n$, $y=n+1/n$ とすると $|x-y|=1/n\to 0$ ですが

$$|f(x)-f(y)|=\left|n^2-{\left(n+\frac{1}{n}\right)}^2\right|=2+\frac{1}{n^2}\to 2$$

となり、$|x-y|$ を小さくしても $|f(x)-f(y)|$ は $2$ に近いままです。

ただし $f(x)=x^2$ は有界閉区間 $[a,b]$ 上では一様連続です。

コンパクト集合上の連続関数

一様連続性に関する最も重要な定理は次です。

有界閉区間 $[a,b]$ 上の連続関数は一様連続である。

より一般に、コンパクト集合上の連続関数は一様連続です。

この定理により、閉区間上では連続性と一様連続性を区別する必要がありません。

一様連続性の応用

一様連続性は次のような場面で重要です。

リーマン積分では、$[a,b]$ 上の連続関数が一様連続であることを使って、分割を細かくしたときの和の収束を示します。

関数列の極限では、各点収束と一様収束の違いを考える際に、一様連続性が関わってきます。

微分方程式の解の存在定理（ピカールの定理など）でも、一様連続性やリプシッツ条件が本質的に使われます。