微分の定義と基本性質

微分は関数の「瞬間的な変化率」を表す概念であり、接線の傾きとして幾何学的に解釈できます。

微分係数の定義

関数 $f$ の点 $a$ における微分係数 $f^{\prime }(a)$ は次の極限で定義されます。

$$f^{\prime }(a)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$$

この極限が存在するとき、$f$ は点 $a$ で微分可能であるといいます。

同値な定義として ${\lim }_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$ もあります。

幾何学的意味

$\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ は点 $(a,f(a))$ と点 $(a+h,f(a+h))$ を結ぶ割線の傾きです。$h\to 0$ の極限をとると、割線は接線に近づきます。

したがって $f^{\prime }(a)$ は曲線 $y=f(x)$ の点 $(a,f(a))$ における接線の傾きです。

微分可能性と連続性

$f$ が点 $a$ で微分可能ならば、$f$ は $a$ で連続です。

証明：${\lim }_{h\to 0}(f(a+h)-f(a))={\lim }_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}\cdot h=f^{\prime }(a)\cdot 0=0$ より ${\lim }_{h\to 0}f(a+h)=f(a)$ です。

逆は成り立ちません。$f(x)=|x|$ は $x=0$ で連続ですが微分可能ではありません。

導関数

$f$ が区間 $I$ の各点で微分可能なとき、$x\mapsto f^{\prime }(x)$ を $f$ の導関数といい、$f^{\prime }$, $\frac{df}{dx}$, $Df$ などと書きます。

微分の基本公式

$c$ を定数、$f,g$ を微分可能な関数とすると

$$(cf{)}^{\prime }=c{f}^{\prime },(f+g{)}^{\prime }=f^{\prime }+g^{\prime },(fg{)}^{\prime }=f^{\prime }g+f{g}^{\prime }$$

$g\ne 0$ のとき ${\left(\frac{f}{g}\right)}^{\prime }=\frac{f^{\prime }g-f{g}^{\prime }}{g^2}$ です。

べき関数の微分

$n$ を正の整数とすると $(x^n{)}^{\prime }=n{x}^{n-1}$ です。

証明：二項定理より $(x+h{)}^n=x^n+n{x}^{n-1}h+O(h^2)$ なので

$$\frac{(x+h{)}^n-x^n}{h}=n{x}^{n-1}+O(h)\to n{x}^{n-1}$$

この公式は $n$ が実数のときも成り立ちます。

合成関数の微分（連鎖律）

$g$ が $a$ で微分可能、$f$ が $g(a)$ で微分可能なら、$f\circ g$ は $a$ で微分可能で

$$(f\circ g{)}^{\prime }(a)=f^{\prime }(g(a))\cdot g^{\prime }(a)$$

ライプニッツの記法では $\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot \frac{du}{dx}$ と書けます。

高階微分

$f^{\prime }$ がさらに微分可能なとき、その導関数を $f^{\prime \prime }$ または $f^{(2)}$ と書き、$f$ の2階導関数といいます。同様に $n$ 階導関数 $f^{(n)}$ を帰納的に定義します。

$f^{(n)}$ が存在するとき、$f$ は $n$ 回微分可能であるといいます。すべての $n$ で $f^{(n)}$ が存在するとき、$f$ は無限回微分可能または滑らかであるといい、$f\in C^{\infty }$ と書きます。