ルートと分数の微分は指数で書き直すと 1 つの公式で済む｜高校数学Ⅲ

$\sqrt{x}$ も $\frac{1}{x^3}$ も、指数の形に書き直せば同じ公式で微分できます。

$$(x^p{)}^{\prime }=p{x}^{p-1}$$

$p$ が正の整数のときだけでなく、負の数でも分数でも成り立つ^[1]。数学Ⅱでは自然数だった $p$ が、数学Ⅲでは有理数まで広がります。

$p$ を動かすと曲線の反り方が変わります。点 $(1,1)$ での接線の傾きは、いつでも $p$ そのもの。

根号は分数の指数に直す

平方根は $\frac{1}{2}$ 乗、立方根は $\frac{1}{3}$ 乗として書けます。

$$\sqrt{x}=x^{1/2},\sqrt[3]{x}=x^{1/3},\sqrt[n]{x^m}=x^{m/n}$$

書き直してしまえば、あとは公式に $p$ を入れるだけ。根号のまま扱おうとすると、専用の手順を別に覚えることになります。

分母にある形も同じです。$\frac{1}{x^3}=x^{-3}$、$\frac{1}{\sqrt{x}}=x^{-1/2}$ と直します。

例：$\sqrt{x}$ を微分する

$p=\frac{1}{2}$ を公式に入れます。

$$(\sqrt{x}{)}^{\prime }=\frac{1}{2}{x}^{-1/2}=\frac{1}{2\sqrt{x}}$$

指数が $-\frac{1}{2}$ になるので、答えは分母に根号がくる形。$x=4$ なら傾きは $\frac{1}{4}$ です。

例：$\frac{1}{x^3}$ を微分する

$x^{-3}$ と見ます。指数を前に出し、$1$ を引く。

$$(x^{-3}{)}^{\prime }=-3x^{-4}=-\frac{3}{x^4}$$

負の指数では、微分すると指数がさらに小さくなります。符号が負になるのは、$x$ が増えると値が減るためです。

例：立方根を含む形

$y=\sqrt[3]{x^2}$ は $x^{2/3}$ です^[1]。

$$y^{\prime }=\frac{2}{3}{x}^{-1/3}=\frac{2}{3\sqrt[3]{x}}$$

$x=8$ での傾きは $\frac{2}{3\cdot 2}=\frac{1}{3}$ になります。この点を通る接線は $y=\frac{1}{3}x+\frac{4}{3}$。

例：根号の中に式が入る形

$y=\sqrt{x^2+1}$ は合成関数です。外側が $\frac{1}{2}$ 乗、内側が $x^2+1$。

$$y^{\prime }=\frac{1}{2}(x^2+1{)}^{-1/2}\cdot 2x=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$$

内側の微分 $2x$ が、外側の $\frac{1}{2}$ と打ち消し合いました。根号の微分では、この形の約分がよく起こります。

分数関数は 2 通りで解ける

$y=\frac{1}{x^2+1}$ のような形は、商の公式でも指数の書き直しでも計算できます。

商の公式なら分子を $1$ として $-\frac{2x}{(x^2+1{)}^2}$。指数なら $(x^2+1{)}^{-1}$ と見て、外側の微分に内側の $2x$ を掛けます。

$$-(x^2+1{)}^{-2}\cdot 2x=-\frac{2x}{(x^2+1{)}^2}$$

結果は同じです。分子が定数のときは書き直しのほうが速く、分子にも式があるときは商の公式が素直。

グラフで見る $\sqrt{x}$ の傾き

平方根のグラフは、原点の近くで急に立ち上がります。傾きの式 $\frac{1}{2\sqrt{x}}$ を見ると、$x$ を $0$ に近づけるほど値が大きくなる。

$x=0.25$ で傾き $1$、$x=1$ で $0.5$、$x=4$ で $0.25$。右へ行くほど、坂はゆるやかになります。

原点では微分できない

$\sqrt{x}$ の定義域は $x\ge 0$ ですが、微分できるのは $x>0$ の範囲だけです。

$x\to +0$ のとき $\frac{1}{2\sqrt{x}}$ は限りなく大きくなります。接線が縦を向いてしまい、傾きという値が決まらない。

グラフの端で微分できない例は、ほかにもあります。$y=\sqrt[3]{x}$ は原点で定義されますが、そこでの接線はやはり縦向き。

なぜ有理数の指数でも成り立つのか

$y=x^{m/n}$ の両辺を $n$ 乗すると $y^n=x^m$ になります。この形なら、両辺とも整数の指数です。

両辺を $x$ で微分します。左辺は合成関数なので $n{y}^{n-1}{y}^{\prime }$ となる。

$$n{y}^{n-1}{y}^{\prime }=m{x}^{m-1}$$

$y=x^{m/n}$ を戻して整理すると、$y^{\prime }=\frac{m}{n}{x}^{m/n-1}$ が出ます^[2]。整数の場合から、分数の場合が導かれました。

対数微分法でも同じ結論に届きます。$\log y=\frac{m}{n}\log x$ の両辺を微分するだけ^[3]。

まとめて確かめる

指数に直す、公式を当てる、根号や分数に戻す。この $3$ 手順を固定してしまえば、形が変わっても手が止まりません。

参考文献