接線と法線の方程式（点 1 つと傾き 1 つで直線は決まる）

接線を作るのに要るのは、通る点と傾きの $2$ つだけです。点は $(a, f (a))$ 、傾きは $f^{'} (a)$ 。

$y = f (a) + f^{'} (a) (x - a)$

法線は、その接線と直角に交わる直線です^[1]。直角に交わる $2$ 直線は傾きの積が $- 1$ になるので、法線の傾きは $- \frac{1}{f ^{'} ( a )}$ 。

$y = f (a) - \frac{1}{f ^{'} ( a )} (x - a)$

接点が動くと、接線と法線は角度を保ったまま向きを変えます。接線の傾きが $0$ になる山と谷では、法線が縦を向く。

例：放物線の接線と法線

$y = x^{2}$ の $x = 2$ での接線を求めます。 $f (2) = 4$ 、 $f^{'} (2) = 4$ 。

$y = 4 + 4 (x - 2) = 4 x - 4$

法線の傾きは $- \frac{1}{4}$ です。同じ点を通るので、次の式になります。

$y = 4 - \frac{1}{4} (x - 2) = - \frac{1}{4} x + \frac{9}{2}$

$4 \times (- \frac{1}{4}) = - 1$ を確かめておくと、符号の入れ忘れに気づけます。

例：対数関数の接線

$y = lo g x$ の $x = 1$ での接線です。 $f (1) = 0$ 、 $f^{'} (1) = 1$ 。

$y = 0 + 1 \cdot (x - 1) = x - 1$

原点の少し右で、傾き $1$ の直線が曲線に触れます。 $lo g x$ が $x - 1$ より下にあることは、この接線から読めます。

例：3 乗根の曲線に接線を引く

$y = x^{2/3}$ の $x = 8$ での接線を作ります^[2]。 $f (8) = 4$ 、 $f^{'} (x) = \frac{2}{3} x^{- 1/3}$ から $f^{'} (8) = \frac{1}{3}$ 。

$y = 4 + \frac{1}{3} (x - 8) = \frac{1}{3} x + \frac{4}{3}$

指数が分数でも手順は変わりません。値と傾きを $2$ つ計算するだけです。

曲線の外の点から引く接線

「点 $(0, - 1)$ から $y = x^{2}$ に引いた接線」のような問題では、接点が分かりません。そこで接点を文字で置きます。

接点を $(t, t^{2})$ とすると、傾きは $2 t$ 。接線の式は次のとおり。

$y = t^{2} + 2 t (x - t) = 2 t x - t^{2}$

これが $(0, - 1)$ を通る条件を書きます。 $x = 0$ 、 $y = - 1$ を代入すると $- 1 = - t^{2}$ となり、 $t = \pm 1$ 。

接線は $y = 2 x - 1$ と $y = - 2 x - 1$ の $2$ 本になりました。接点が分からないときは文字で置く、という手順がそのまま答えにつながります。

「その点を通る」と「その点で接する」を混同しないところが分かれ目です。 $(0, - 1)$ は放物線の上にありません。

$y = x^{3}$ 上の点 $(1, 1)$ における法線の方程式はどれか。

$y = 3 x - 2$
$y = - \frac{1}{3} x + \frac{4}{3}$
$y = - 3 x + 4$

__RESULT__

$f^{'} (x) = 3 x^{2}$ なので接線の傾きは $3$ 、法線の傾きは $- \frac{1}{3}$ です。点 $(1, 1)$ を通るので $y - 1 = - \frac{1}{3} (x - 1)$ となります。

2 つの曲線が接する条件

曲線と直線が接するのは、同じ点を共有し、そこで傾きも一致するときです。

$y = x^{3}$ と $y = 3 x + k$ が接する $k$ を求めます。接点を $t$ とすると、条件は $2$ つ。

$t^{3} = 3 t + k, 3 t^{2} = 3$

$2$ 番目から $t = \pm 1$ です。 $1$ 番目に戻すと $k = - 2$ または $k = 2$ 。

値が等しいだけでは交わるだけです。傾きの一致まで書いて、はじめて接する条件になります。

陰関数や媒介変数のとき

接線の作り方は、傾きの求め方が変わるだけで同じです^[3]。

$x^{2} + y^{2} = 25$ なら $\frac{d y}{d x} = - \frac{x}{y}$ 。点 $(3, - 4)$ での傾きは $\frac{3}{4}$ となり、接線は $y = \frac{3}{4} x - \frac{25}{4}$ です。

媒介変数なら $\frac{d y}{d t}$ を $\frac{d x}{d t}$ で割って傾きを出します。あとは点を代入するだけ。

接線は最良の 1 次近似

接線は、その点のごく近くで曲線といちばんよく重なる直線です^[2]。

$f (x) ≒ f (a) + f^{'} (a) (x - a)$

$9.1$ を見積もるなら、 $f (x) = x$ の $a = 9$ での接線を使います。 $f (9) = 3$ 、 $f^{'} (9) = \frac{1}{6}$ なので $3 + \frac{0.1}{6} ≒ 3.0167$ 。

実際の値は $3.0166 \dots$ で、小数第 $3$ 位まで合っています。接点から離れるほど、ずれは大きくなる。

点 $(2, 0)$ から $y = x^{2}$ に引いた接線の本数はどれか。

$1$ 本
$2$ 本
$3$ 本

__RESULT__

接点を $(t, t^{2})$ とすると接線は $y = 2 t x - t^{2}$ です。 $(2, 0)$ を通る条件から $0 = 4 t - t^{2}$ となり、 $t = 0$ と $t = 4$ の 2 つが出ます。

手順をそろえる

接点の

x

座標を決めます。与えられていなければ

t

と置きます。

f (t)

と

f^{'} (t)

を計算します。値と傾きの

2

つです。

y = f (t) + f^{'} (t) (x - t)

に入れます。法線なら傾きを

- \frac{1}{f ^{'} ( t )}

に替えます。

通るべき点があれば代入し、

t

の方程式を解きます。

f^{'} (t) = 0

の点では法線が縦向きになるので、

x = t

と書きます。

接点を文字で置くところまで進めば、あとは方程式を解く作業です。図をかいて本数の見当をつけておくと、解の個数の確認になります。

参考文献

Tangente - Wikipedia（ドイツ語）

Linear Approximations and Differentials - Calculus Volume 1, OpenStax

Implicit Differentiation - Calculus Volume 1, OpenStax

接線は $y = f(a) + f'(a)(x-a)$、法線は傾きを $-1/f'(a)$ に替えるだけ。接点が動くと 2 本が直角を保ったまま向きを変える様子を図で追えます。曲線の外の点から引くときは接点を $t$ と置き、通る条件を方程式にする。2 曲線が接する条件、陰関数や媒介変数のとき、そして接線を使って $\sqrt{9.1}$ を見積もる話まで並べました。