区間や係数が動くときの最大・最小（どこで場合分けするか決める）

最大最小の問題に文字が入ると、場合分けが要ります。動くものが $2$ 種類あるので、まずどちらかを見分けます。

区間が動く型と、関数のほうが動く型です。どちらも、山や谷が区間の内にあるか外にあるかで分かれます^[1]。

区間が右へ動くと、最小値の位置が右端から頂点へ、そして左端へ移ります。切り替わる瞬間が場合分けの境目です。

型 1：区間が動く

$f(x)=x^2$ を $a\le x\le a+1$ で考えます。最小値を $a$ で場合分けします。

境目は $a=0$ と $a=-1$。頂点が区間の端に一致する位置です^[2]。

最大値のほうは、区間の中点で分かれます。頂点から遠いほうの端が最大になるためです。

型 2：関数が動く

$f(x)=x^2-2ax$ を $0\le x\le 2$ で考えます。頂点は $x=a$ で、$a$ が動きます。

区間は固定なので、動くのは軸のほう。とはいえ、調べることは同じです。

軸が区間の外にあるときは、近いほうの端が最小。中に入れば頂点が最小です。

場合分けを書き出す

$f(x)=x^2-2ax$ を $0\le x\le 2$ で調べた結果です。

最大値は区間の中点 $x=1$ で分かれます。$a<1$ なら $f(2)=4-4a$、$a>1$ なら $f(0)=0$。

最小は軸の位置、最大は中点との比較。$2$ つの境目が別々なので、分けて書きます^[3]。

上の数直線が最小値、下が最大値の場合分けです。境目の位置が違います。

$1$ つの図にまとめて書くと、区切りの数を数え違えにくくなります。

数学Ⅲ の関数でも同じ

$f(x)=x{e}^{-x}$ を $0\le x\le a$ で考えます。極大は $x=1$ で、値は $\frac{1}{e}$。

$a<1$ なら区間に極大が入らないので、最大は右端の $a{e}^{-a}$。$a\ge 1$ なら極大が最大になります。

$2$ 次関数の「軸と区間」が、「極値の位置と区間」に置きかわっただけです。増減表を先に書けば、同じ手順で進みます^[3]。

境目での扱い

$a=0$ のように、ちょうど境目になる値はどちらに入れても同じ値です。どちらかに含めて書きます。

$3$ つの場合を書くとき、範囲が重なったり抜けたりしないよう確かめます。$a<0$、$0\le a\le 2$、$a>2$ で全体を覆っています。

答案では、場合ごとに最小値を書き並べます。まとめて $1$ つの式にできるときもありますが、無理にまとめない。

押さえるところ

$2$ 次関数で習った「軸と区間」の考え方が、そのまま使えます。極値の位置を軸の代わりに置くだけです。

参考文献