公式は 8 つで足りる、数学Ⅲの微分公式一覧と証明

数学Ⅲ で出てくる微分の公式は、基本の $8$ つと組み立ての $3$ つに分かれます。

基本の $8$ つは $x^{\alpha }$、$\sin x$、$\cos x$、$\tan x$、$e^x$、$a^x$、$\log x$、${\log }_{a}x$。組み立ての $3$ つは積、商、合成です。

このうち独立に覚える必要があるのは、実は $4$ つだけ。残りは組み立ての規則から出てきます^[2]。

基本の 8 つ

$\alpha$ は実数なら何でもかまいません。$\sqrt{x}=x^{1/2}$ も $\frac{1}{x^3}=x^{-3}$ も、この $1$ 本で片づきます。

組み立ての 3 つ

$$(fg{)}^{\prime }=f^{\prime }g+f{g}^{\prime },{\left(\frac{f}{g}\right)}^{\prime }=\frac{f^{\prime }g-f{g}^{\prime }}{g^2},\{f(g(x)){\}}^{\prime }=f^{\prime }(g(x))g^{\prime }(x)$$

和と定数倍はそのまま分配できます。$(f+g{)}^{\prime }=f^{\prime }+g^{\prime }$、$(kf{)}^{\prime }=k{f}^{\prime }$ です。

これで全部です。あとはどの規則をどの順で当てるかだけになります。

4 つから 8 つが出る

$\tan x$ は $\frac{\sin x}{\cos x}$ なので、商の規則から出ます。

$$(\tan x{)}^{\prime }=\frac{\cos x\cos x-\sin x(-\sin x)}{{\cos }^{2}x}=\frac{1}{{\cos }^{2}x}$$

$a^x$ は $e^{x\log a}$ と書き直せます。合成の規則で内側の微分 $\log a$ が掛かる。

${\log }_{a}x$ は底の変換で $\frac{\log x}{\log a}$ になり、定数倍の規則だけで済みます。

$x^{\alpha }$ も $e^{\alpha \log x}$ と書けば合成から出ます。$e^{\alpha \log x}\cdot \frac{\alpha }{x}=x^{\alpha }\cdot \frac{\alpha }{x}=\alpha x^{\alpha -1}$ です。

$\cos x$ も $\sin \left(\frac{\pi }{2}-x\right)$ の合成として出ます。覚える側は $4$ つに絞れます。

積の規則がどこから来るか

定義式に戻ります^[4]。鍵は、分子に $f(x)g(x+h)$ を足して引くことです^[1]。

$$\frac{f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x)}{h}=\frac{f(x+h)-f(x)}{h}g(x+h)+f(x)\frac{g(x+h)-g(x)}{h}$$

$h\to 0$ で $g(x+h)\to g(x)$ なので、$f^{\prime }g+f{g}^{\prime }$ が残ります。

足して引く操作で、$f$ だけが動く項と $g$ だけが動く項に割れる。$2$ 項になる理由がここにあります。

商は積と合成から作れる

商の規則を独立に覚える必要はありません。先に $\frac{1}{g}$ を微分します。

$\frac{1}{g}=g^{-1}$ なので、合成の規則で $-g^{-2}{g}^{\prime }=-\frac{g^{\prime }}{g^2}$ です。

$${\left(\frac{f}{g}\right)}^{\prime }=f^{\prime }\cdot \frac{1}{g}+f\cdot \left(-\frac{g^{\prime }}{g^2}\right)=\frac{f^{\prime }g-f{g}^{\prime }}{g^2}$$

積の規則を当てて通分しただけ。符号が引き算になるのは、$g^{-1}$ の微分に $-1$ が出るためです。

合成は分数として見る

$u=g(x)$、$y=f(u)$ と置くと、差分商を $2$ つに割れます^[3]。

$$\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{\Delta y}{\Delta u}\cdot \frac{\Delta u}{\Delta x}$$

$\Delta x\to 0$ のとき $\Delta u\to 0$ なので、右辺は $\frac{dy}{du}\cdot \frac{du}{dx}$ へ行きます。

分数の約分のように見えますが、$dy$ や $du$ は数ではありません。それでも形は約分と同じに書けます。

逆関数の微分

$y=f(x)$ の逆関数を微分するときも、同じ分数の見方が使えます。

$$\frac{dx}{dy}=\frac{1}{\frac{dy}{dx}}$$

$y=\log x$ を $x=e^y$ から出すと、$\frac{dx}{dy}=e^y=x$ なので $\frac{dy}{dx}=\frac{1}{x}$ です。

指数関数の微分から対数関数の微分が出ました。覚える $4$ つのうち、$\log x$ も $e^x$ から作れることになります。

例：商と積が重なる形

$y=\frac{e^x\sin x}{x^2+1}$ を微分します。外側が商、分子が積です。

分子の微分は $e^x\sin x+e^x\cos x=e^x(\sin x+\cos x)$。分母の微分は $2x$。

$$y^{\prime }=\frac{e^x(\sin x+\cos x)(x^2+1)-e^x\sin x\cdot 2x}{(x^2+1{)}^2}$$

$e^x$ でくくれます。外側の規則から先に決め、中身を後から埋める順で書くと迷いません。

例：合成が 2 段になる形

$y=\sqrt{1+\tan x}$ を微分します。外側が根号、内側が $1+\tan x$ です。

$$y^{\prime }=\frac{1}{2\sqrt{1+\tan x}}\cdot \frac{1}{{\cos }^{2}x}$$

外側を微分して内側をそのまま代入し、内側の微分を掛ける。$2$ 段でも $3$ 段でも手順は同じです。

例：対数の中に関数が入る形

$y=\log (\cos x)$ なら、外側が $\log$、内側が $\cos x$ です。

$$y^{\prime }=\frac{1}{\cos x}\cdot (-\sin x)=-\tan x$$

内側の微分を掛け忘れると $\frac{1}{\cos x}$ で止まります。合成でいちばん多い誤りがこれです。

$y={\sin }^3(2x)$ なら $3$ 段です。$3{\sin }^2(2x)$、$\cos (2x)$、$2$ を順に掛けて $6{\sin }^2(2x)\cos (2x)$ になります。

底が $e$ のときだけ $\log e=1$ になり、係数が消えます。$e^x$ が特別なのはこの点です。

基本を $4$ つ覚え、規則を $3$ つ当てる。数学Ⅲ の微分公式は、この形に整理できます。

参考