高階微分で示す不等式、導関数の符号が決まらないときの二段構え

不等式を示すときは、差の関数を作って最小値を調べます。ところが $h^{\prime }(x)$ の符号が、そのままでは決まらないことがある。

そういうときは、もう一度微分します。$h^{\prime \prime }$ の符号から $h^{\prime }$ の増減を出し、$h^{\prime }$ の符号から $h$ の増減を出す。二段構えです。

$3$ つとも $x>0$ で正のグラフです。ただし、それが分かる順番は下から。$h^{\prime \prime }$ が正だと分かってはじめて、$h^{\prime }$ の増減が言えます。

二段構えの手順

書く順番は決まっています。

出発点の値が $0$ になるように $h$ を作るところが工夫です。$x=0$ で $h=0$、$h^{\prime }=0$ と続けば、話がつながります。

例：指数関数を 2 次式で押さえる

$x>0$ で $e^x>1+x+\frac{x^2}{2}$ を示します。差を $h(x)$ とおきます。

$$h^{\prime }(x)=e^x-1-x,h^{\prime \prime }(x)=e^x-1$$

$x>0$ では $e^x>1$ なので $h^{\prime \prime }(x)>0$。よって $h^{\prime }$ は増加します。

$h^{\prime }(0)=0$ なので、$x>0$ では $h^{\prime }(x)>0$。したがって $h$ も増加します。

$h(0)=0$ なので、$x>0$ では $h(x)>0$ です。これで示せました^[1]。

例：三段まで下りる場合

$x>0$ で $\sin x>x-\frac{x^3}{6}$ を示します。$h(x)=\sin x-x+\frac{x^3}{6}$ とおきます。

$$h^{\prime }(x)=\cos x-1+\frac{x^2}{2},h^{\prime \prime }(x)=-\sin x+x$$

$h^{\prime \prime }$ の符号は、$\sin x<x$ から分かります。$x>0$ で $h^{\prime \prime }(x)>0$。

あとは同じ流れです。$h^{\prime }(0)=0$ から $h^{\prime }>0$、$h(0)=0$ から $h>0$。

$\sin x<x$ のほうも、$1$ 回微分すれば示せます。$(x-\sin x{)}^{\prime }=1-\cos x\ge 0$ だからです。

$3$ 本が上下にはさまっています。$\sin x$ が真ん中で、$1$ 次式が上、$3$ 次式が下。

はさむ多項式の次数を上げるほど、近づき方がよくなります。マクローリン展開の考え方につながる形です^[2]。

何回微分するかの見極め

微分するたびに、式は簡単になっていきます。多項式なら次数が下がり、指数関数と三角関数は形が保たれる。

止めどきは、符号がはっきり読める形になったときです。$e^x-1$ や $1-\cos x$ のように、既知の不等式で片づく形を目指します。

深く下りるほど、戻るときに書く行が増えます。$h^{\prime \prime }$ から $h^{\prime }$、$h^{\prime }$ から $h$ と、そのつど「値 $0$ から出発して増加」を書く。

例：対数は 1 回で足りる

$x>0$ で $\log (1+x)>x-\frac{x^2}{2}$ を示します。差を $h$ とおいて $1$ 回微分します。

$$h^{\prime }(x)=\frac{1}{1+x}-1+x=\frac{x^2}{1+x}$$

通分しただけで符号が読めました。$x>0$ で正なので $h$ は増加、$h(0)=0$ から結論が出ます。

通分や因数分解で決まるなら、そこで止めます。回数を増やすことが目的ではありません。

出発点の値をそろえる

$h(0)=0$ にならない場合もあります。そのときは、$h$ の最小値を計算して符号を見ます。

$x>0$ で $x+\frac{1}{x}\ge 2$ を示すなら、$h(x)=x+\frac{1}{x}-2$ とおきます。

$h^{\prime }(x)=1-\frac{1}{x^2}$ から $x=1$ で最小、$h(1)=0$。最小値が $0$ なので、不等式が成り立ちます。

区間の端が開いている場合は、極限を調べます^[3]。$x\to +0$ で発散するなら、最小値は内部にある。

気をつけるところ

一段ずつ下りて、一段ずつ戻る。書く行は増えますが、道筋そのものは単純です。

参考文献