関数方程式の頻出パターン｜代入と微分で決まる関数の形

$f(x+y)=f(x)+f(y)$ のように、関数そのものを未知数とする方程式があります。関数方程式です^[1]。

解き方の道具は $2$ つ。特別な値を代入することと、微分の定義に持ち込むこと。

$4$ つの型があります^[1]。左の演算の組み合わせで、答えの関数が決まる。

和を和へ移すのが $1$ 次関数、和を積へ移すのが指数関数。積を和へ移すのが対数関数で、積を積へ移すのがべき関数です。

手順 1：特別な値を代入する

$x=y=0$ や $x=y=1$ を入れると、$f(0)$ や $f(1)$ の値が決まります。

$f(x+y)=f(x)+f(y)$ に $x=y=0$ を入れます。

$$f(0)=2f(0),f(0)=0$$

$f(x+y)=f(x)f(y)$ なら $f(0)=\{f(0){\}}^2$ なので、$f(0)$ は $0$ か $1$。$f(0)=0$ だと $f$ がつねに $0$ になるので、それを除けば $f(0)=1$ です。

$f(xy)=f(x)+f(y)$ には $x=y=1$ を入れます。$f(1)=0$ が出ます。

手順 2：微分の定義に持ち込む

$f(x+h)$ を、関数方程式で $f(x)$ と $f(h)$ に分けます。差の商が、きれいな形になります。

加法型で書きます。$f(x+h)-f(x)=f(h)$ です。

$$f^{\prime }(x)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(h)}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(h)-f(0)}{h}=f^{\prime }(0)$$

導関数が定数になりました。$f^{\prime }(0)=c$ とおけば $f(x)=cx+d$ で、$f(0)=0$ から $d=0$。

例：加法型を解く

$f(x+y)=f(x)+f(y)$ かつ $f^{\prime }(0)=2$ とします。

上の計算から $f^{\prime }(x)=2$ です。積分すると $f(x)=2x+d$、$f(0)=0$ より $d=0$。

$$f(x)=2x$$

代入で $f(0)$ を出し、微分の定義で $f^{\prime }$ を出し、そこから $f$ を復元する。この $3$ 段が基本の流れです。

例：指数型を解く

$f(x+y)=f(x)f(y)$ かつ $f^{\prime }(0)=3$ とします。$f(0)=1$ でした。

$$f^{\prime }(x)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x)f(h)-f(x)}{h}=f(x)\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(h)-f(0)}{h}=3f(x)$$

$f^{\prime }=3f$ という関係が出ました。$\frac{f^{\prime }}{f}=3$ の両辺を積分すると $\log |f|=3x+d$。

$f(0)=1$ から $d=0$、したがって $f(x)=e^{3x}$ です^[2]。

$2$ 本の棒の高さの比が、位置によらず一定です。$f(x+a)=f(x)f(a)$ を、図にしたものになります。

例：対数型を解く

$f(xy)=f(x)+f(y)$ かつ $f^{\prime }(1)=1$ とします。定義域は $x>0$。

$f(x+h)=f\left\{x\left(1+\frac{h}{x}\right)\right\}=f(x)+f\left(1+\frac{h}{x}\right)$ と分けます。

$$f^{\prime }(x)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{1}{x}\cdot \frac{f\left(1+\frac{h}{x}\right)-f(1)}{h/x}=\frac{f^{\prime }(1)}{x}$$

$f^{\prime }(x)=\frac{1}{x}$ です。積分すると $f(x)=\log x+d$、$f(1)=0$ から $d=0$。

$$f(x)=\log x$$

例：べき型を解く

$f(xy)=f(x)f(y)$ かつ $f^{\prime }(1)=3$ とします。$f(1)=1$ です。

同じように分けると $f^{\prime }(x)=\frac{f(x)f^{\prime }(1)}{x}$。$\frac{f^{\prime }}{f}=\frac{3}{x}$ となります。

積分して $\log f=3\log x$、つまり $f(x)=x^3$ です^[3]。

仮定が要る理由

微分できることを仮定しないと、話が変わります。連続でも微分できなくてもよい、とすると、素直でない解が存在してしまう^[1]。

高校の問題では「微分可能」「連続」といった条件が必ず付いています。その一文が、答えを $1$ つに絞る役目を持っている。

条件を使わずに答えを書くと、論理が飛びます。どこで微分可能性を使ったかを、答案に示す必要があります。

代入で試す値

代入は、値をひとつずつ確定させる作業です。$f(0)$ や $f(1)$ が決まると、あとの積分定数が決まります。

押さえるところ

$3$ 段の流れが決まっているので、型さえ見分けられれば手が動きます。演算がどう移るかを、最初に確かめます。

参考文献