逆三角関数の微分、三角比の逆から根号が生まれる

$\sin y=x$ を $y$ について解いた関数が $\arcsin x$ です。三角関数の逆をたどる形になります。

そのままでは $y$ が $1$ つに決まらないので、範囲を区切ります。$\arcsin$ は $-\frac{\pi }{2}\le y\le \frac{\pi }{2}$、$\arccos$ は $0\le y\le \pi$、$\arctan$ は $-\frac{\pi }{2}<y<\frac{\pi }{2}$。

黒が $\sin$、青が $\arcsin$。破線について折り返した位置にあります。

$x=\pm 1$ では接線が縦を向きます。もとの $\sin$ の傾きが $0$ になる点だからです。

微分の公式

逆関数の微分の公式から出ます^[1]。

$$(\arcsin x{)}^{\prime }=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}},(\arccos x{)}^{\prime }=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$

$$(\arctan x{)}^{\prime }=\frac{1}{1+x^2}$$

三角関数の逆なのに、答えに根号と分数が出てきます。この見た目の落差が、この単元の面白いところ。

根号はどこから来るのか

$y=\arcsin x$ とおくと $x=\sin y$ です。両辺を $x$ で微分します。

$$1=\cos y\cdot \frac{dy}{dx},\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\cos y}$$

このままでは $y$ が残ります。$\cos y$ を $x$ で書き直します。

$-\frac{\pi }{2}\le y\le \frac{\pi }{2}$ では $\cos y\ge 0$ なので、根号の符号が決まります^[3]。

$$\cos y=\sqrt{1-{\sin }^{2}y}=\sqrt{1-x^2}$$

範囲を区切ったことが、ここで効いています。区切らなければ符号が決まりません。

arctan には根号が出ない

$y=\arctan x$ なら $x=\tan y$ です。微分すると $1=\frac{1}{{\cos }^{2}y}\cdot \frac{dy}{dx}$。

$$\frac{dy}{dx}={\cos }^{2}y=\frac{1}{1+{\tan }^{2}y}=\frac{1}{1+x^2}$$

$1+{\tan }^{2}y=\frac{1}{{\cos }^{2}y}$ を使うと、根号を通らずに済みます。分母が有理式になる形です。

傾きはつねに正で、原点で $1$、離れるほど $0$ に近づきます。グラフが $\pm \frac{\pi }{2}$ に貼りつく形と対応しています。

例：合成と組み合わせる

$y=\arctan (x^2)$ を微分します。外側の公式に、内側の微分 $2x$ を掛けます^[1]。

$$y^{\prime }=\frac{1}{1+(x^2{)}^2}\cdot 2x=\frac{2x}{1+x^4}$$

$y=\arcsin (2x)$ なら $\frac{2}{\sqrt{1-4x^2}}$。定義域は $-\frac{1}{2}\le x\le \frac{1}{2}$ に縮みます。

内側が式になると、定義域も一緒に変わります。根号の中が正になる条件を、そのつど確かめます。

arcsin と arccos の和

$2$ つを足すと定数になります。微分すると、その理由がすぐ分かる。

$$(\arcsin x+\arccos x{)}^{\prime }=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}=0$$

導関数が $0$ なので、和は定数です^[2]。$x=0$ を入れると $\frac{\pi }{2}$。

$$\arcsin x+\arccos x=\frac{\pi }{2}$$

$\arccos$ の公式に負号が付く理由も、ここから読めます。$\arcsin$ の符号を変えただけの形になっている。

積分の側から見ると

微分の公式を逆に読むと、根号や分数を含む式の原始関数が分かります。

$$\int \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}=\arcsin x+C,\int \frac{dx}{1+x^2}=\arctan x+C$$

$\frac{1}{1+x^2}$ の原始関数は、有理式では書けません。逆三角関数を用意して、はじめて表せる形です。

$\log$ が $\frac{1}{x}$ の穴を埋めたのと同じ事情です。関数の種類が増える理由が、ここにあります。

押さえるところ

高校の教科書では扱いませんが、大学の微積分では最初に出てきます。逆関数の微分の練習としても、ちょうどよい題材です。

参考文献