逆関数の微分と陰関数の微分、y のまま微分してよい理由

$y$ について解けない式でも、微分はできます。$x^2+y^2=25$ の両辺をそのまま $x$ で微分するだけ。

$$2x+2y\frac{dy}{dx}=0,\frac{dy}{dx}=-\frac{x}{y}$$

$y$ を $x$ の関数と見て、合成関数の微分を当てはめました^[1]。この手が陰関数の微分です。

半径 $5$ の円を点が回ります。$x$ と $y$ の値から傾きがそのまま決まり、$y=0$ の左右の端だけ接線が縦を向く。

陰関数の微分の手順

やることは $4$ つです^[1]。$y$ を含む項では、合成関数の微分を忘れないところが肝心。

$y^2$ を微分すると $2y\frac{dy}{dx}$ です。$y$ が $x$ の関数なので、外側の $2$ 乗を微分したあとに内側の微分が付きます。

$\sin y$ なら $\cos y\cdot \frac{dy}{dx}$、$e^y$ なら $e^y\frac{dy}{dx}$。どれも同じ理屈です。

例：楕円の接線を求める

$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$ を微分します。

$$\frac{2x}{9}+\frac{2y}{4}\frac{dy}{dx}=0,\frac{dy}{dx}=-\frac{4x}{9y}$$

点 $\left(\frac{3}{\sqrt{2}},\sqrt{2}\right)$ での傾きは $-\frac{4\cdot 3/\sqrt{2}}{9\sqrt{2}}=-\frac{2}{3}$ になります。

接点の座標を傾きの式に入れるだけで、接線が引けました。$y$ について解いてから微分する道もありますが、根号が出て手数が増えます。

例：デカルトの葉線

$y^3+x^3-3xy=0$ という曲線でも同じ手順です^[1]。$3xy$ の項には積の公式を使います。

$$3y^2\frac{dy}{dx}+3x^2-3y-3x\frac{dy}{dx}=0$$

$\frac{dy}{dx}$ でくくって解きます。

$$\frac{dy}{dx}=\frac{3y-3x^2}{3y^2-3x}=\frac{y-x^2}{y^2-x}$$

点 $\left(\frac{3}{2},\frac{3}{2}\right)$ を入れると $-1$ になり、接線は $y=-x+3$ です。$y$ について解くことは事実上できない曲線なので、陰関数の微分でしか手が出ません。

逆関数の微分

逆関数のほうも、同じ考え方で公式が出ます。$y=f^{-1}(x)$ とおくと $x=f(y)$ です。

両辺を $x$ で微分すると $1=f^{\prime }(y)\frac{dy}{dx}$ となり、割れば答え^[2]。

$$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{f^{\prime }(y)}=\frac{1}{\frac{dx}{dy}}$$

分数をひっくり返した形です。もとの関数の傾きが分かれば、逆関数の傾きは計算せずに出せます。

$y=x^3$ の点 $(1.2,1.728)$ での傾きは $4.32$、折り返した点での傾きは $0.23$。掛けると $1$ になります。

例：3 乗根の微分を逆関数から出す

$y=\sqrt[3]{x}$ を、逆関数の公式で計算します。$x=y^3$ と書き直すところから。

$$\frac{dx}{dy}=3y^2,\frac{dy}{dx}=\frac{1}{3y^2}$$

$y=x^{1/3}$ を戻すと $\frac{1}{3x^{2/3}}$ です。べきの公式から直接出した答えと一致します^[3]。

傾きが 0 の点では使えない

逆関数の公式は分母に $f^{\prime }(y)$ があるので、そこが $0$ だと成り立ちません。

$y=x^3$ の原点がその例です。もとの関数の傾きが $0$ なので、折り返した $\sqrt[3]{x}$ は原点で接線が縦を向く。

グラフを折り返すと、水平な接線は垂直な接線に変わります。$0$ の逆数がないことと、図の上で対応しています。

発展：逆三角関数の微分

高校の範囲を少し超えますが、逆関数の公式が効く代表例です^[2]。

$$(\arcsin x{)}^{\prime }=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}},(\arctan x{)}^{\prime }=\frac{1}{1+x^2}$$

$y=\arcsin x$ なら $x=\sin y$ で、$\frac{dx}{dy}=\cos y$。$\cos y=\sqrt{1-{\sin }^{2}y}=\sqrt{1-x^2}$ と直せば、上の形になります。

三角関数の逆から根号が現れるところが面白いところ。積分で $\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ の原始関数を探すとき、この対応が効いてきます。

使い分け

$y$ を $x$ の関数として扱う、という一点さえ外さなければ、どちらの計算も合成関数の微分の応用にすぎません。

参考文献