逆関数の微分と陰関数の微分、y のまま微分してよい理由

$y$ について解けない式でも、微分はできます。 $x^{2} + y^{2} = 25$ の両辺をそのまま $x$ で微分するだけ。

$2 x + 2 y \frac{d y}{d x} = 0, \frac{d y}{d x} = - \frac{x}{y}$

$y$ を $x$ の関数と見て、合成関数の微分を当てはめました^[1]。この手が陰関数の微分です。

半径 $5$ の円を点が回ります。 $x$ と $y$ の値から傾きがそのまま決まり、 $y = 0$ の左右の端だけ接線が縦を向く。

陰関数の微分の手順

やることは $4$ つです^[1]。 $y$ を含む項では、合成関数の微分を忘れないところが肝心。

両辺を

x

で微分します。

y

の項には

\frac{d y}{d x}

が付きます。

\frac{d y}{d x}

を含む項を左辺に集めます。

左辺を

\frac{d y}{d x}

でくくります。

両辺を係数で割り、

\frac{d y}{d x}

について解きます。

$y^{2}$ を微分すると $2 y \frac{d y}{d x}$ です。 $y$ が $x$ の関数なので、外側の $2$ 乗を微分したあとに内側の微分が付きます。

$sin y$ なら $cos y \cdot \frac{d y}{d x}$ 、 $e^{y}$ なら $e^{y} \frac{d y}{d x}$ 。どれも同じ理屈です。

例：楕円の接線を求める

$\frac{x ^{2}}{9} + \frac{y ^{2}}{4} = 1$ を微分します。

$\frac{2 x}{9} + \frac{2 y}{4} \frac{d y}{d x} = 0, \frac{d y}{d x} = - \frac{4 x}{9 y}$

点 $(\frac{3}{2}, 2)$ での傾きは $- \frac{4 \cdot 3/ 2}{9 2} = - \frac{2}{3}$ になります。

接点の座標を傾きの式に入れるだけで、接線が引けました。 $y$ について解いてから微分する道もありますが、根号が出て手数が増えます。

例：デカルトの葉線

$y^{3} + x^{3} - 3 x y = 0$ という曲線でも同じ手順です^[1]。 $3 x y$ の項には積の公式を使います。

$3 y^{2} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} - 3 y - 3 x \frac{d y}{d x} = 0$

$\frac{d y}{d x}$ でくくって解きます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 y - 3 x ^{2}}{3 y ^{2} - 3 x} = \frac{y - x ^{2}}{y ^{2} - x}$

点 $(\frac{3}{2}, \frac{3}{2})$ を入れると $- 1$ になり、接線は $y = - x + 3$ です。 $y$ について解くことは事実上できない曲線なので、陰関数の微分でしか手が出ません。

逆関数の微分

逆関数のほうも、同じ考え方で公式が出ます。 $y = f^{- 1} (x)$ とおくと $x = f (y)$ です。

両辺を $x$ で微分すると $1 = f^{'} (y) \frac{d y}{d x}$ となり、割れば答え^[2]。

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{f ^{'} ( y )} = \frac{1}{\frac{d x}{d y}}$

分数をひっくり返した形です。もとの関数の傾きが分かれば、逆関数の傾きは計算せずに出せます。

$y = x^{3}$ の点 $(1.2, 1.728)$ での傾きは $4.32$ 、折り返した点での傾きは $0.23$ 。掛けると $1$ になります。

例：3 乗根の微分を逆関数から出す

$y = 3 x$ を、逆関数の公式で計算します。 $x = y^{3}$ と書き直すところから。

$\frac{d x}{d y} = 3 y^{2}, \frac{d y}{d x} = \frac{1}{3 y ^{2}}$

$y = x^{1/3}$ を戻すと $\frac{1}{3 x ^{2/3}}$ です。べきの公式から直接出した答えと一致します^[3]。

傾きが 0 の点では使えない

逆関数の公式は分母に $f^{'} (y)$ があるので、そこが $0$ だと成り立ちません。

$y = x^{3}$ の原点がその例です。もとの関数の傾きが $0$ なので、折り返した $3 x$ は原点で接線が縦を向く。

グラフを折り返すと、水平な接線は垂直な接線に変わります。 $0$ の逆数がないことと、図の上で対応しています。

$x^{2} + x y + y^{2} = 3$ のとき、 $\frac{d y}{d x}$ はどれか。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x}{2 y}$
$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x + y}{x + 2 y}$
$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x + y}{2 y}$

__RESULT__

$x y$ の項は積の公式で $y + x \frac{d y}{d x}$ になります。全体では $2 x + y + x \frac{d y}{d x} + 2 y \frac{d y}{d x} = 0$ となり、 $\frac{d y}{d x}$ でくくって解くと答えが出ます。

発展：逆三角関数の微分

高校の範囲を少し超えますが、逆関数の公式が効く代表例です^[2]。

$(arcsin x)^{'} = \frac{1}{1 - x ^{2}}, (arctan x)^{'} = \frac{1}{1 + x ^{2}}$

$y = arcsin x$ なら $x = sin y$ で、 $\frac{d x}{d y} = cos y$ 。 $cos y = 1 - sin^{2} y = 1 - x^{2}$ と直せば、上の形になります。

三角関数の逆から根号が現れるところが面白いところ。積分で $\frac{1}{1 - x ^{2}}$ の原始関数を探すとき、この対応が効いてきます。

$y = f^{- 1} (x)$ で、 $f (2) = 5$ かつ $f^{'} (2) = 4$ のとき $\frac{d y}{d x}$ の $x = 5$ での値はどれか。

$4$
$\frac{1}{4}$
$\frac{1}{5}$

__RESULT__

$f (2) = 5$ なので $f^{- 1} (5) = 2$ です。公式 $(f^{- 1})^{'} (x) = \frac{1}{f ^{'} ( f ^{- 1} ( x ))}$ に入れると $\frac{1}{f ^{'} ( 2 )} = \frac{1}{4}$ になります。

使い分け

y

について解ける式なら、解いてから微分しても同じです。手数の少ないほうを選びます。

円や楕円、双曲線は陰関数の微分が速い。

y

について解くと根号と場合分けが出ます。

接線を求めるだけなら、傾きの式に接点を入れて終わり。

y

を残したままで済みます。

逆関数の傾きは、もとの関数の傾きの逆数。逆関数の式を書き下さなくても計算できます。

分母が

0

になる点では、どちらの公式も使えません。図のうえでは接線が縦を向く点です。

$y$ を $x$ の関数として扱う、という一点さえ外さなければ、どちらの計算も合成関数の微分の応用にすぎません。

参考文献

Implicit Differentiation - Calculus Volume 1, OpenStax

Derivatives of Inverse Functions - Calculus Volume 1, OpenStax

Dérivées usuelles - Wikipédia（フランス語）

$x^2+y^2=25$ を $y$ について解かずに微分すると $dy/dx = -x/y$ が出ます。$y$ を $x$ の関数と見て合成関数の微分を当てるだけ。円周上を点が回る図で、傾きが座標からそのまま決まる様子を追えます。楕円の接線、デカルトの葉線、逆関数の傾きが逆数になる仕組みまで計算例つき。分母が $0$ になる点で接線が縦を向き、公式が使えなくなる境目も示します。