グラフの凹凸と変曲点を決める第 2 次導関数の符号

同じ増加でも、勢いを増しながら上がる場合と、勢いを落としながら上がる場合があります。この違いが凹凸です。

$f^{\prime \prime }(x)>0$ の区間では下に凸、$f^{\prime \prime }(x)<0$ の区間では上に凸になります^[1]。

$$f^{\prime \prime }(x)>0\Rightarrow 下に凸,f^{\prime \prime }(x)<0\Rightarrow 上に凸$$

下に凸なら接線は曲線の下を通り、上に凸なら上を通る。接線と曲線の位置関係が、そのまま凹凸の言い換えになります。

接線の色が変わる位置が、凹凸の境目です。左半分では接線が曲線の上にあり、右半分では下に移ります。

変曲点

凹凸が入れかわる点を変曲点といいます^[2]。連続な関数について、そこで曲がり方の向きが変わる。

変曲点では $f^{\prime \prime }(x)=0$ になります。ただし、それだけでは足りません。$f^{\prime \prime }(x)$ が符号を変えることまで要ります。

ふつうの点では、接線は曲線の片側にとどまります。変曲点だけは例外で、接線がグラフを横切る^[2]。

例：3 次関数の変曲点

$f(x)=x^3-6x^2+9x+30$ を調べます^[1]。$2$ 回微分します。

$$f^{\prime }(x)=3x^2-12x+9,f^{\prime \prime }(x)=6x-12$$

$f^{\prime \prime }(x)=0$ から $x=2$ です。$x<2$ で負、$x>2$ で正なので、符号が変わっています。

$f(2)=8-24+18+30=32$ なので、変曲点は $(2,32)$。$3$ 次関数の変曲点は $1$ つだけで、グラフはその点について対称になります。

$f^{\prime \prime }(x)=0$ だけでは足りない

$f(x)=x^4$ を見ます。$f^{\prime \prime }(x)=12x^2$ なので $f^{\prime \prime }(0)=0$ です。

ところが $12x^2$ は $x=0$ の前後でどちらも正。符号が変わらないので、原点は変曲点ではありません。

$x^4$ のグラフは全体が下に凸です。底が平らに見えるだけで、曲がり方の向きは変わっていない。

例：指数関数の変曲点

$f(x)=e^{-x^2}$ を調べます。釣鐘の形をしたグラフです。

$$f^{\prime }(x)=-2x{e}^{-x^2},f^{\prime \prime }(x)=(4x^2-2)e^{-x^2}$$

$e^{-x^2}$ はつねに正なので、符号は $4x^2-2$ で決まります。$x=\pm \frac{1}{\sqrt{2}}$ が変曲点。

山の頂上と裾のあいだで、曲がり方が変わっています。統計で使う正規分布のグラフも同じ形で、変曲点の位置が広がりの目安になります。

例：対数関数と分数関数

$f(x)=\log x$ は $f^{\prime \prime }(x)=-\frac{1}{x^2}$ なので、定義域全体で上に凸です。変曲点はありません。

$f(x)=\frac{1}{x}$ は $f^{\prime \prime }(x)=\frac{2}{x^3}$ です。$x>0$ で下に凸、$x<0$ で上に凸。

符号は $x=0$ の前後で変わりますが、そこは定義域の外。変曲点とは呼びません。定義域を確かめる手順が要る例です。

どちらも原点で $f^{\prime \prime }(x)=0$ になります。左は符号が変わるので変曲点、右は変わらないので違います。

凹凸から不等式が出る

下に凸な関数は、接線より上にあります。この位置関係が、そのまま不等式になる。

$f(x)=e^x$ は $f^{\prime \prime }(x)=e^x>0$ なので下に凸です。$x=0$ での接線は $y=x+1$。

$$e^x\ge x+1$$

等号は $x=0$ のときだけ成り立ちます。凹凸を調べておくと、こうした評価が図から読めます。

増減表に凹凸を足す

増減表に $f^{\prime \prime }(x)$ の段を足すと、グラフの形がほぼ決まります。

上がり方が $4$ 通りに分かれます。増えながら下に凸、増えながら上に凸、減りながら下に凸、減りながら上に凸。この $4$ つを描き分けられれば、概形はほぼ完成です。

参考文献