凸な関数は接線より上にある（相加相乗もイェンゼンもここから出る）

下に凸な関数には、 $2$ つの位置関係があります。接線はグラフの下、弦はグラフの上^[3]。

この $2$ つが、そのまま不等式になります。ひとつは接線による評価、もうひとつが弦による評価です。

黒が関数、青が接線、赤が弦です。 $2$ 本の直線が、曲線をはさんでいます。

接線による不等式

$y = e^{x}$ の $x = 0$ での接線は $y = x + 1$ です。下に凸なので、接線は曲線の下。

$e^{x} \geq x + 1$

等号は接点だけで成り立ちます。同じ手で、 $y = lo g x$ の $x = 1$ での接線から次が出ます。

$lo g x \leq x - 1$

$lo g$ は上に凸なので、向きが逆になります。接線が上にくる形です。

接点をずらせば、別の不等式が作れます。 $y = e^{x}$ の $x = 1$ での接線からは $e^{x} \geq e x$ が出る。

弦による不等式

区間の両端を結ぶ弦は、下に凸な関数のグラフより上にあります。この事実を式にしたものがイェンゼンの不等式です^[1]。

$2$ 点の場合を書きます。 $0 \leq t \leq 1$ とします。

$f {(1 - t) a + t b} \leq (1 - t) f (a) + t f (b)$

左辺が曲線の高さ、右辺が弦の高さ。上に凸なら不等号の向きが逆になります。

青い縦線が、弦と曲線のへだたりです。 $t$ を動かしても負にはならず、両端でだけ $0$ になります。

n 個に広げる

重みを $n$ 個にしても成り立ちます^[1]。和が $1$ の正の数 $a_{1}, \dots, a_{n}$ について書きます。

$f (\sum a_{i} x_{i}) \leq \sum a_{i} f (x_{i})$

証明は数学的帰納法です。 $n = 2$ が凸性の定義そのもので、そこから $1$ つずつ増やしていきます。

重みをすべて $\frac{1}{n}$ にすると、平均どうしの比較になります。

$f (\frac{x _{1} + \dots + x _{n}}{n}) \leq \frac{f ( x _{1} ) + \dots + f ( x _{n} )}{n}$

例：相加平均と相乗平均

$lo g$ は上に凸なので、不等号の向きが逆になります^[2]。

$lo g \frac{x _{1} + \dots + x _{n}}{n} \geq \frac{lo g x _{1} + \dots + lo g x _{n}}{n}$

右辺は $lo g n x_{1} \dots x_{n}$ と書けます。 $lo g$ が増加関数なので、中身どうしを比べられます。

$\frac{x _{1} + \dots + x _{n}}{n} \geq n x_{1} \dots x_{n}$

相加平均と相乗平均の関係が出ました。等号は、すべての値が等しいときだけ^[2]。

$n = 2$ なら $\frac{x + y}{2} \geq x y$ です。面積が同じ長方形のうち、正方形がいちばん周が短い、という話と同じ内容になります。

$lo g x$ が上に凸であることは、どの計算から分かるか。

$(lo g x)^{'} = \frac{1}{x} > 0$
$(lo g x)^{''} = - \frac{1}{x ^{2}} < 0$
$lo g 1 = 0$

__RESULT__

凹凸を決めるのは第 2 次導関数の符号です。 $- \frac{1}{x ^{2}}$ は定義域全体で負なので、上に凸になります。

例：三角形の角に使う

$sin$ は $0 < x < π$ で上に凸です。三角形の $3$ つの角に、 $n = 3$ の形を当てます。

$\frac{sin A + sin B + sin C}{3} \leq sin \frac{A + B + C}{3} = sin \frac{π}{3}$

右辺は $\frac{3}{2}$ なので、 $sin A + sin B + sin C \leq \frac{3 3}{2}$ 。

等号は $A = B = C$ 、つまり正三角形のときです。凸性の不等式は、等号の場合が「全部そろったとき」になります。

接線と弦の使い分け

接線を使う

$1$ 点のまわりで押さえるとき。 $e^{x} \geq x + 1$ のように、 $1$ 変数の評価になる

弦を使う

いくつかの値の平均を比べるとき。相加相乗のように、 $n$ 変数の評価になる

接線は $1$ 点の情報から出る不等式、弦は複数点の関係から出る不等式です。どちらも凹凸の符号がもとになっています^[3]。

$x > 0$ で $\frac{x + y}{2} \geq x y$ の等号が成り立つのはどんなときか。

$x = 1$ のとき
$x = y$ のとき
$x y = 1$ のとき

__RESULT__

すべての値が等しいときだけ等号になります。 $(x - y)^{2} \geq 0$ を展開しても、同じ条件が出ます。

押さえるところ

下に凸なら、接線は下、弦は上。上に凸なら逆になります。

接線による不等式は、接点をどこにとるかで形が変わります。

イェンゼンの不等式は、弦が上にあることの一般形です。

lo g

の凹性から相加相乗が出ます。等号はすべて等しいとき。

凹凸は

f^{''}

の符号で決めます。まずそこを計算します。

不等式を作るとき、どの関数の凹凸を使うかが最初の判断です。 $lo g$ 、 $e^{x}$ 、 $sin$ のどれかで片づくことが多い。

参考文献

Jensen's inequality - Wikipedia

AM–GM inequality - Wikipedia

Point d'inflexion - Wikipédia（フランス語）

下に凸な関数では、接線がグラフの下、弦が上にきます。この位置関係がそのまま $e^x \ge x+1$ と $\log x \le x-1$ になる。弦のほうを $n$ 個へ広げたものがイェンゼンの不等式で、$\log$ の凹性に当てると相加平均と相乗平均の関係が出ます。弦と曲線のへだたりが $t$ を動かしても負にならない様子も図にしました。三角形の角に使う例つき。