積の n 回微分、パスカルの三角形がそのまま現れる

積を $2$ 回微分すると、項が $3$ つ出て真ん中に $2$ が付きます^[1]。

$$(fg{)}^{\prime \prime }=f^{\prime \prime }g+2f^{\prime }{g}^{\prime }+f{g}^{\prime \prime }$$

$(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2$ と同じ並びです。$n$ 回微分でも、この対応は崩れません。

$$(fg{)}^{(n)}=\sum _{k=0}^n{}_n{\mathrm{C}}_k{f}^{(n-k)}{g}^{(k)}$$

ライプニッツの定理と呼ばれます。積の微分法を $n$ 回ぶんに広げた公式です^[2]。

左の三角形の $1$ 行ぶんが、右の式の係数と一致します。$f$ の微分回数は左から減り、$g$ の微分回数は右へ向かって増える。

二項定理と同じ形になる理由

微分を $1$ 回加えるとき、$f$ に付けるか $g$ に付けるかの $2$ 通りがあります。$n$ 回ぶんの選び方が組合せの数になる、という見方です。

$(a+b{)}^n$ の展開で $a$ を何個選ぶかを数えるのと、同じ数え上げ^[1]。だから係数もそろいます。

指数と微分回数を対応させると、$a^{n-k}{b}^k$ が $f^{(n-k)}{g}^{(k)}$ にあたる。この置きかえで公式が読めます。

帰納法で示す

$n=1$ のときは積の微分法そのものです^[3]。

$n=k$ で成り立つと仮定し、両辺をもう一度微分します。各項が $2$ つに分かれ、隣どうしの項がまとまる。

$${}_k{\mathrm{C}}_{j-1}+{}_k{\mathrm{C}}_j={}_{k+1}{\mathrm{C}}_j$$

この関係が効いて、$n=k+1$ の係数がそろいます。パスカルの三角形で、上の $2$ 数を足すと下の数になる規則そのものです。

例：多項式との積は途中で止まる

$f(x)=x^2{e}^x$ を $n$ 回微分します。$x^2$ の側は $3$ 回目から $0$ になるので、和は $3$ 項で終わります。

$g(x)=x^2$ とすると $g^{\prime }=2x$、$g^{\prime \prime }=2$、$g^{(3)}=0$ です。

$$\begin{array}{rl}(x^2{e}^x{)}^{(n)}& ={}_n{\mathrm{C}}_0{e}^x\cdot x^2+{}_n{\mathrm{C}}_1{e}^x\cdot 2x+{}_n{\mathrm{C}}_2{e}^x\cdot 2\\ & =\{x^2+2nx+n(n-1)\}{e}^x\end{array}$$

${}_n{\mathrm{C}}_2\times 2=n(n-1)$ となるところが、うまく片づく部分です。

$n=1$ で $(x^2+2x)e^x$、$n=2$ で $(x^2+4x+2)e^x$。手で微分した結果と合います。

例：三角関数との積

$f(x)=x^2\sin x$ でも同じ手が使えます。$\sin$ の $n$ 階は角を進める形で書けます。

$$(x^2\sin x{)}^{(n)}=x^2\sin \left(x+\frac{n\pi }{2}\right)+2nx\sin \left(x+\frac{(n-1)\pi }{2}\right)+n(n-1)\sin \left(x+\frac{(n-2)\pi }{2}\right)$$

項が $3$ つで止まるのは、$x^2$ の微分が $3$ 回目で消えるためです。多項式が掛かっている形は、この定理と相性がよい。

$x^2$ を $3$ 回微分すると $0$ です。$0$ を掛けた項は消えるので、無限に続く和にはなりません。

例：係数だけを問われる場合

$(x^3{e}^{2x}{)}^{(5)}$ の $x^3$ の係数を求めます。$e^{2x}$ の $n$ 階は $2^n{e}^{2x}$ です。

$x^3$ が微分されない項だけを見ればよいので、$k=0$ の項を拾います。

$${}_5{\mathrm{C}}_0\cdot 2^5{e}^{2x}\cdot x^3=32x^3{e}^{2x}$$

全部を展開せず、必要な項だけをとり出せる。和の形で書いてあることの利点です。

使いどころ

積の微分法を覚えていれば、あとは組合せの数を並べるだけ。二項定理と同じ形だと分かれば、覚え直す必要はありません。

参考文献