積の n 回微分、パスカルの三角形がそのまま現れる

積を $2$ 回微分すると、項が $3$ つ出て真ん中に $2$ が付きます^[1]。

$(f g)^{''} = f^{''} g + 2 f^{'} g^{'} + f g^{''}$

$(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}$ と同じ並びです。 $n$ 回微分でも、この対応は崩れません。

$(f g)^{(n)} = k = 0 \sum n_{n} C_{k} f^{(n - k)} g^{(k)}$

ライプニッツの定理と呼ばれます。積の微分法を $n$ 回ぶんに広げた公式です^[2]。

左の三角形の $1$ 行ぶんが、右の式の係数と一致します。 $f$ の微分回数は左から減り、 $g$ の微分回数は右へ向かって増える。

二項定理と同じ形になる理由

微分を $1$ 回加えるとき、 $f$ に付けるか $g$ に付けるかの $2$ 通りがあります。 $n$ 回ぶんの選び方が組合せの数になる、という見方です。

$(a + b)^{n}$ の展開で $a$ を何個選ぶかを数えるのと、同じ数え上げ^[1]。だから係数もそろいます。

指数と微分回数を対応させると、 $a^{n - k} b^{k}$ が $f^{(n - k)} g^{(k)}$ にあたる。この置きかえで公式が読めます。

帰納法で示す

$n = 1$ のときは積の微分法そのものです^[3]。

$n = k$ で成り立つと仮定し、両辺をもう一度微分します。各項が $2$ つに分かれ、隣どうしの項がまとまる。

$_{k} C_{j - 1} +_{k} C_{j} =_{k + 1} C_{j}$

この関係が効いて、 $n = k + 1$ の係数がそろいます。パスカルの三角形で、上の $2$ 数を足すと下の数になる規則そのものです。

例：多項式との積は途中で止まる

$f (x) = x^{2} e^{x}$ を $n$ 回微分します。 $x^{2}$ の側は $3$ 回目から $0$ になるので、和は $3$ 項で終わります。

$g (x) = x^{2}$ とすると $g^{'} = 2 x$ 、 $g^{''} = 2$ 、 $g^{(3)} = 0$ です。

$(x^{2} e^{x})^{(n)} =_{n} C_{0} e^{x} \cdot x^{2} +_{n} C_{1} e^{x} \cdot 2 x +_{n} C_{2} e^{x} \cdot 2 = {x^{2} + 2 n x + n (n - 1)} e^{x}$

$_{n} C_{2} \times 2 = n (n - 1)$ となるところが、うまく片づく部分です。

$n = 1$ で $(x^{2} + 2 x) e^{x}$ 、 $n = 2$ で $(x^{2} + 4 x + 2) e^{x}$ 。手で微分した結果と合います。

例：三角関数との積

$f (x) = x^{2} sin x$ でも同じ手が使えます。 $sin$ の $n$ 階は角を進める形で書けます。

$(x^{2} sin x)^{(n)} = x^{2} sin (x + \frac{nπ}{2}) + 2 n x sin (x + \frac{( n - 1 ) π}{2}) + n (n - 1) sin (x + \frac{( n - 2 ) π}{2})$

項が $3$ つで止まるのは、 $x^{2}$ の微分が $3$ 回目で消えるためです。多項式が掛かっている形は、この定理と相性がよい。

$x^{2}$ を $3$ 回微分すると $0$ です。 $0$ を掛けた項は消えるので、無限に続く和にはなりません。

例：係数だけを問われる場合

$(x^{3} e^{2 x})^{(5)}$ の $x^{3}$ の係数を求めます。 $e^{2 x}$ の $n$ 階は $2^{n} e^{2 x}$ です。

$x^{3}$ が微分されない項だけを見ればよいので、 $k = 0$ の項を拾います。

$_{5} C_{0} \cdot 2^{5} e^{2 x} \cdot x^{3} = 32 x^{3} e^{2 x}$

全部を展開せず、必要な項だけをとり出せる。和の形で書いてあることの利点です。

$(x sin x)^{''}$ を展開した式はどれか。

$x sin x + 2 cos x$
$2 cos x - x sin x$
$- x sin x$

__RESULT__

$f = sin x$ 、 $g = x$ として $f^{''} g + 2 f^{'} g^{'} + f g^{''}$ に入れます。 $f^{''} = - sin x$ 、 $f^{'} = cos x$ 、 $g^{'} = 1$ 、 $g^{''} = 0$ なので $- x sin x + 2 cos x$ です。

使いどころ

多項式と、指数関数や三角関数の積を

n

回微分するとき。

項の数が有限で止まるので、一般形が書けます。

特定の項の係数だけが必要なとき、その

k

だけを計算します。

帰納法で一般形を導く問題の、見通しを立てる道具にもなります。

2

回や

3

回だけなら、素直に積の微分を繰り返すほうが速い場合もあります。

積の微分法を覚えていれば、あとは組合せの数を並べるだけ。二項定理と同じ形だと分かれば、覚え直す必要はありません。

参考文献

General Leibniz rule - Wikipedia

Produktregel - Wikipedia（ドイツ語）

Dérivées usuelles - Wikipédia（フランス語）

$(fg)'' = f''g + 2f'g' + fg''$ の係数は $1, 2, 1$。$(a+b)^2$ の展開と同じ並びです。三角形の行が切り替わるのに合わせて式が伸びていく図で、対応を確かめます。微分を $f$ と $g$ のどちらに付けるかを数える、という見方がその理由。$x^2 e^x$ のように多項式が掛かる形では項が 3 つで止まり、一般形がそのまま書けます。