2 曲線の共通接線 - 接点が別か同じかで変わる立式

$2$ つの曲線に同時に接する直線を、共通接線といいます。立て方は $2$ 通りに分かれます^[1]。

接点が別々の場合は、接点を $2$ つ置いて、直線が一致する条件を書きます。接点が同じ場合は、その $1$ 点で値と傾きの両方がそろう条件になります。

放物線と双曲線に、同じ直線が触れています。接点は $(-4,16)$ と $(-1,-8)$ で、離れた場所にある。

接点が異なる場合の立て方

それぞれの曲線に接点を置き、接線の式を $2$ つ作ります。その $2$ 本が同じ直線になる条件を書く^[2]。

$y=x^2$ の接点を $(s,s^2)$ とすると、接線は次のようになります。

$$y=2sx-s^2$$

$y=\frac{8}{x}$ の接点を $\left(t,\frac{8}{t}\right)$ とすると、傾きは $-\frac{8}{t^2}$。

$$y=-\frac{8}{t^2}x+\frac{16}{t}$$

例：傾きと切片をそろえる

$2$ 本が同じ直線になる条件は、傾きと切片がそれぞれ等しいことです。

$$2s=-\frac{8}{t^2},-s^2=\frac{16}{t}$$

上の式から $s=-\frac{4}{t^2}$。これを下の式に入れます。

$$-\frac{16}{t^4}=\frac{16}{t},t^3=-1$$

$t=-1$ となり、$s=-4$ です。共通接線は $y=-8x-16$ になります。

$2$ 本の接線を作ってから重ねる、という順序を崩さないところが大事です。先に直線を置くと、未知数が増えて解きにくくなります。

接点が同じ場合

$2$ つの曲線が同じ点で接するときは、その点で $2$ つの条件が同時に成り立ちます。

この $2$ つを連立します。共有点を持つだけなら $1$ 番目だけで、そこに傾きの条件が加わると接する形になる^[3]。

$a$ を動かすと、対数曲線が上下に伸び縮みします。ちょうど触れる値がひとつだけある。

例：接する条件から係数を決める

$y=x^2$ と $y=a\log x$ が接する $a$ を求めます。接点の $x$ 座標を $p$ とおきます。

値が等しい条件と、傾きが等しい条件を並べます。

$$p^2=a\log p,2p=\frac{a}{p}$$

$2$ 番目から $a=2p^2$。これを $1$ 番目に入れます。

$$p^2=2p^2\log p,\log p=\frac{1}{2}$$

$p=\sqrt{e}$ となり、$a=2e$ です。接点は $(\sqrt{e},e)$ になります。

接点が異なる場合の別の書き方

傾きを文字で置く道もあります。共通接線を $y=mx+n$ とし、それぞれの曲線と接する条件を判別式などで書く形です。

$2$ 次曲線どうしなら、この書き方が速いこともあります。$y=x^2$ と直線が接する条件は、連立した $2$ 次方程式の判別式が $0$ になること。

指数関数や対数関数が入ると判別式は使えません。接点を置く方法のほうが、どの曲線にも通用します。

例：接線が 1 本しかない場合

$y=e^x$ と $y=\log x$ は、直線 $y=x$ について対称です。共通接線も対称な位置に現れます。

$y=e^x$ の接点を $(s,e^s)$ とすると、接線は $y=e^{s}x+e^s(1-s)$。これが $y=\log x$ にも接する条件を書きます。

対称性から、$y=x$ に垂直な方向の関係を使うと計算が短くなります。図をかいて本数の見当をつけてから式を立てると、解の個数の確認になる。

手順をそろえる

問題文に「共通接線」とあれば、まず接点が別か同じかを読み分けます。そこを間違えると、立てる式ごと変わってしまう。

参考文献