連続でも微分できない点がある（角、とがり、垂直な接線）

微分できる点では、グラフは必ずつながっています。逆は成り立ちません^[1]。

つながっていても微分できない点があります。角のある点、とがった点、接線が縦を向く点。

左は左右で傾きが違い、真ん中は両側から縦に立ち上がり、右は接線が縦向きになります^[1]。

連続であることの意味

$x=a$ で連続とは、次の $3$ つがそろうことです。

グラフに切れ目も飛びもない、という状態です。鉛筆を離さずに描けるかどうか、という言い方でも近い。

微分可能であることの意味

$x=a$ で微分可能とは、次の極限が存在することです。

$$\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$$

$h$ を正の側から近づけた値を右側微分係数、負の側からの値を左側微分係数といいます。$2$ つが一致してはじめて、極限が存在する。

微分できれば連続である

証明は短く済みます^[1]。差を、差の商と $h$ の積に書き直すところが要点です。

$$f(a+h)-f(a)=\frac{f(a+h)-f(a)}{h}\cdot h$$

$h\to 0$ のとき、右辺は $f^{\prime }(a)\times 0=0$ に近づきます。左辺が $0$ に近づくので $f(a+h)\to f(a)$、つまり連続。

逆向きは言えません。連続という条件は、極限が存在することまでしか要求していないためです。

例：絶対値の原点

$f(x)=|x|$ の原点で、左右の微分係数を計算します。

$h>0$ なら $\frac{|h|-0}{h}=1$、$h<0$ なら $\frac{-h}{h}=-1$ です。

$2$ つが違うので極限がありません。グラフの角が、この食い違いに対応します。

$h$ を縮めても、左右の傾きは $-1$ と $1$ のまま動きません。近づく先が $2$ つある状態では、極限が決まらない。

例：3 乗根の原点

$f(x)=\sqrt[3]{x}$ は原点でつながっています。$f^{\prime }(x)=\frac{1}{3x^{2/3}}$ を見ると、$x\to 0$ で限りなく大きくなる^[1]。

左右どちらから近づけても $+\infty$ へ発散します。値が一致していても、実数として存在しないので微分できません。

接線は縦を向きます。傾きという数が決まらない点、と言い直せます。

例：つなぎ目で微分可能にする

次の関数が $x=1$ で微分可能になる $a$ と $b$ を求めます。

$$f(x)=\{\begin{array}{ll}{x}^2& (x\le 1)\\ ax+b& (x>1)\end{array}$$

条件は $2$ つです。まず連続であること。$x\to 1$ の両側で値がそろう必要があります。

$$1=a+b$$

次に左右の微分係数がそろうこと。左は $2x$ に $x=1$ を入れて $2$、右は $a$ です。

$a=2$、$b=-1$ と決まります。連続だけでは足りず、傾きの一致まで書くところが要点。

微分できない点の見分け方

入試で出るのは、絶対値の入った関数と、場合分けで定義された関数です。どちらもつなぎ目を調べる形になります。

定義域の端では片側だけ

閉区間の端では、片側からしか近づけません。$\sqrt{x}$ の $x=0$ がその例です。

右側微分係数だけを考えれば、そこでも接線の話ができます^[2]。ただし $\sqrt{x}$ の場合はその値が発散するので、やはり微分できない。

平均値の定理が「閉区間で連続、開区間で微分可能」と書き分けているのは、この事情のためです^[2]。端では微分可能を要求しません。

まとめ

連続はつながっていること、微分可能はなめらかにつながっていること。$2$ つは階段になっていて、下の段が連続です^[3]。

つなぎ目を問われたら、値の一致と傾きの一致を順に書く。この $2$ 段構えが答案の形になります。

参考文献