減衰曲線の極値を並べると……そこに現れる等比数列

$e^{-x}\sin x$ は、振動しながら小さくなっていく関数です。減衰曲線と呼ばれます。

山と谷の高さを順に並べると、そこに等比数列が現れます。微分と数列がつながる例です。

薄い $2$ 本の曲線が $\pm e^{-x}$ で、振れ幅の限界を表します。曲線はそのあいだで揺れながら小さくなる。

極値の位置を求める

積の微分で計算します^[1]。

$$y^{\prime }=-e^{-x}\sin x+e^{-x}\cos x=e^{-x}(\cos x-\sin x)$$

$e^{-x}$ はつねに正なので、符号は括弧の中で決まります。$\cos x=\sin x$、つまり $\tan x=1$。

$$x=\frac{\pi }{4}+n\pi (n=0,1,2,\dots )$$

極値の位置は、等間隔に $\pi$ ずつ離れて並びます。

極値の高さ

$x_n=\frac{\pi }{4}+n\pi$ を代入します。$\sin$ の値は $\pi$ ごとに符号が変わります。

$$\sin x_n=\frac{(-1{)}^n}{\sqrt{2}}$$

したがって極値は次のようになります^[2]。

$$y_n=\frac{(-1{)}^n}{\sqrt{2}}{e}^{-\pi /4-n\pi }$$

等比数列になっている

隣どうしの比を計算します。指数の部分だけが変わります。

$$\frac{y_{n+1}}{y_n}=-e^{-\pi }$$

$n$ に依存しない値です。つまり $y_n$ は公比 $-e^{-\pi }$ の等比数列。

$e^{-\pi }$ はおよそ $0.0432$ なので、$1$ つ進むごとに $23$ 分の $1$ ほどに縮みます。$2$ つ目の山はもう小さく、$3$ つ目はほとんど見えません。

$1$ 本目が $0.3224$、$2$ 本目が $0.0139$。棒の高さの差が、公比の小ささを表しています。

無限等比級数の和

極値の絶対値をすべて足します。初項 $\frac{1}{\sqrt{2}}{e}^{-\pi /4}$、公比 $e^{-\pi }$ の等比級数です。

$$\sum _{n=0}^{\infty }|y_n|=\frac{\frac{1}{\sqrt{2}}{e}^{-\pi /4}}{1-e^{-\pi }}$$

公比の絶対値が $1$ より小さいので収束します。値はおよそ $0.337$。

符号を付けたまま足すと、交代級数になります。公比が $-e^{-\pi }$ なので、分母の符号が変わります。

$$\sum _{n=0}^{\infty }{y}_n=\frac{\frac{1}{\sqrt{2}}{e}^{-\pi /4}}{1+e^{-\pi }}\fallingdotseq 0.309$$

打ち消し合うぶん、こちらのほうが小さくなります。

減衰の速さを変える

$y=e^{-ax}\sin x$ とすると、公比は $e^{-a\pi }$ になります。$a$ が大きいほど速く消えます。

$a$ が小さければ、山がいくつも見えるようになる。$a\to 0$ では、ただの $\sin$ に近づきます。

極値の位置も変わります。$y^{\prime }=e^{-ax}(\cos x-a\sin x)$ から $\tan x=\frac{1}{a}$。$a=1$ のとき $\frac{\pi }{4}$ に戻ります。

物理での現れ方

ばねに付けたおもりが、空気の抵抗で少しずつ止まっていく動きが、この形をしています。

振れ幅が等比数列で減るという性質は、実験でも確かめられます。$1$ 往復ごとの振れ幅を測って比をとれば、減り方が分かる。

音の残響や、電気回路の過渡現象にも同じ形が現れます^[3]。

押さえるところ

微分で極値を出し、数列として並べ、級数で足す。$3$ つの単元をまたぐ問題として出やすい形です。

参考文献